n例1.设f:Rn?Rn，且f?C1?R???，满足f?x??f?yx?y，对于任意
n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的. x,y?R证明 显然，对于任意x,y?Rn，x?y，有f?x??f?y?，
f是单射，所以f?1存在，
由f?1?x??f?1?y??x?y，知f?1连续，
由f?x??f?y??x?y，得
对任意实数t?0,向量x,h?Rn,有f?x?th??f?x??th，
f?x?th??f?x??h在中令t?0，取极限，则有 t得Jf(x)h?h，任何x,h?Rn,从而必有|Jf(x)|?0，Jf可逆，
由隐函数组存在定理，所以f?1存在，且是连续可微的。
例2. 讨论序列fn?t??sinnt在?0,???上一致收敛性. nt11解 方法一 显然fn?t???，
nt对任意t??0,???，有limfn?t??0，
n??fn?t??sinntnt??t， ntntt?0?limfn?t??0，关于n是一致的；
对任意??0，当t???,???时，fn?t??11?， n?于是?fn?t??在??,???上是一致收敛于0的， 综合以上结果，
故?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的.
1
方法二 由fn?t??sinntnt?sinntnt?nt1?， ntn即得?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的 例3、 判断?n?1?n在x?1上是否一致收敛. xn????例4. 设f?x?在???,???上一致连续，且?2f?x?dx收敛，证明limf?x??0.
x??2?xy?z例5.求有曲面????2?1所围成的立体的体积其中常数a,b,c?0.
?ab?c例6、 设D为平面有界区域，f?x,y?在D内可微，在D上连续，在D的边界上
f?x,y??0，在D内f满足方程试证：在D上f?x,y??0.
?f?f??f. ?x?y证明 因为f?x,y?在D上连续， 设M?maxf?x,y?，
?x,y??D则M?0，
假若M?0，则存在?x0y0??D，使得f?x0y0??M， 于是有
?f?f?x0y0??0，?x0y0??0， ?x?y??f?f?这与????x0y0??f?x0y0??0矛盾，
??x?y?假若M?0，亦可得矛盾.
同理，对m?minf?x,y?，亦有m?0，
?x,y??D故f?x,y??0，?x,y??D.
华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答
一．求解下列各题 1、设
，数列{x}满足lima?0nn??xn?axn?a。 ?0，证明limn??xn?a2
1、解 由0?lim?xn?a2a??lim?1??， n??x?an??x?ann?? 知lim2a?1，所以limxn?a.
n??n??x?an?cos?x,当x为有理数f(x)??2、设当x为无理数， ?0,证明 f(x)在点xk?k?1（k为任意整数）处连续，而在其它点处不连续。
21??2、证明 f?xk??cos??k???0，
2??显然有limf?x??0?f?xk?，即f?x?在点xk处连续；
x?xk对x0?xk，当x沿着无理点趋向于x0时，f?x?极限为0， 当x沿着有理点趋向于x0时，极限为cos?x0?0， 所以limf?x?不存在，f?x?在x0处不连续，
x?x0结论得证.
f?x??f?a??f?x??f?a???1??1?????3、若函数???x??， fa?fa??????2?f??a?2???f??a?????求???a?及????a?，其中f?x?在x?a处有二阶导数，且f??a??0 。 3、解 ??a??0，
???a??limx?a??x????a?x?a?f??a??1f???a?， 2?f??x?2?f?x??f?a??f??x??1?????????x????fa?fa??????， 3?f??a??2???f??a????????a??limx?a???x?????a?x?a
f??x??f??a?2?f?x??f?a??f??x???1?1?????? ?lim?fa?fa?????? 3x?ax?a??f??a?2???f??a?????f???a?2f??a?f??a??1?????? ?? ?fa?fa??????3?f??a?2???f??a?????
3
?f???a??2?1????. fa?fa??????f??a??2?4、证明级数
??(?1)n?0?nxn(1?x)， 在[0,1]上绝对收敛；在[0,1]上一致收敛；
但
?x(1?x)在[0，1]上并不一致收敛.
nn?04、证明：显当x??1时，?x(1?x)收敛，当0nn?0??x?1时，?xn(1?x)收敛，
n?0?于是
?(?1)x(1?x)在[0,1]上绝对收敛；
nnn?0 命an(x)?(?1)，bn(x)?nx(1?x)，显然 |?(?1)k|?1，
k?0nnnnnb(x)?x(1?x)?对每一x?[0,1]，{bn(x)}是递减的，n，
(n?1)n?1nn1n1??()?0，??supb(x) n （n?0） n?1n1n?1(n?1)x?[0,1]1?n{bn(x)}递减且一致收敛于0；
故由狄利克雷判别法知，
n?(?1)x(1?x)在[0,1]上一致收敛；
nnn?0?由于Sn(x)??x(1?x)?1?xkk?0n?1,在(0,1)上不一致收敛，所以
?x(1?x)在
nn?0?[0,1]上不一致收敛。
1sin(k?)t?2dt??,(k?0,1,2,?). 5、.证明 ?0tsin21sin(k?)t2?1?2cost???2coskt， 5、证明 证法一 由
tsin2 4
1sin(k?)t?2dt??,(k?0,1,2,?) . 得?0tsin2?sin(2k?1)t?sin2ktcost?cos2ktsintdt??dt 证法二 Ik??00sintsint?sin2ktcost???dt??cos2ktdt 00sint?sin(2k?1)t?sin(2k?1)t??dt 02sint11?Ik?Ik?1，所以，Ik?Ik?1，k?1,2,?， 22?sintdt?? ， 而I0??0sint于是Ik?Ik?1???I2?I1?I0??，
sin(2k?1)tsin(2k?1)t??t?u0sin(2k?1)(??u)dt， 再由?dt???(?du)??20sintsintsin(??u)22???sin(2k?1)t?sin(2k?1)t?dt?，?2dt?，k?1,2,?； 从而?200sint2sint2??1sin(k?)t?2dt??,(k?0,1,2,?)。 得?0tsin26、计算由下列曲面围成的立体的体积：
?x2y2z2?x2y2??，,常数a,b,c?0。 ????22?a2b2c2?ab??6、解 令x?arsin?cos?,y?brsin?sin?,z?crcos?，并利用对称性，即得到体积
??sin?22 V?8?20d??2d??00abcrsin?dr ?8?abc23??20sin4?d?
4?abc31??2????abc． ?34224kk?二、求极限 lim?(1?)sin2 。
n??nnk?1n二、解法1 直接化为黎曼和的形式有困难.
注意到 sinx=x+O(x),
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