相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式
【知识疏理】
一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！
若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。
A A'
B'C'CB
图（4）图1
二， 相似三角形证明的变式
1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：
例1、 已知：如图1，BE、DC交于点A，∠E=∠C。求证：DA·AC=BA·AE
E D
A
CB
图2
题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。
2，对特殊图形的认识
例2、已知：如图3，Rt△ABC中，∠ABC=90o，BD⊥AC于点D。 AD
BC
图3
（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。
（3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结：
（1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似；
（2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；
1
双垂直图形中的BD2=AD·CD，AB2=AD·AC，BC2=CD·CA，BC·AB=AC·BD等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化
AD为“公边共角”，讨论、探究， 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD∽△ACB，则AB2=AD·AC。
【课堂检测】 一选择题
1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ）
100108A、 B、20 C、45 D、
3252、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，如果S△ODC：S△BDC=1：3，那么S△ODC：S△ABC的值是（ ）
1111A、 B、 C、 D、
5679 D C Ａ Ｄ
O Ｐ
A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图）
3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ）
A、1：2 B、1：4 C、1：8 D、1：16
4、已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900，对角线AC⊥BD，垂足为P，已知AD：BC=3：4，则BD：AC的值是 （ ）
Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４
5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB，则下列关系式中正确的是（ ）
ABBCACBCABBCACAB????A、 B、 C、 D、 ADAEAEADDEAEAEAD
2
BC
A C E B O D C E A D B （第5题图） （第6题图）
6、如图，直角三角形ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，则下列说法中正确的有（ ）
① 图中有4个三角形与△ACB相似； ② DE2?AE?EC; ③∠A=∠BCD=∠CDE； ④ CD=
ADCE?； ⑤ 若AC=4，BC=3，则ACBD16AEAD? ； ⑥。
3ECDBA、6个 B、5个 C、4个 D、3个
7．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ）
A、9∶5 B、81∶25 C、3∶5 D、不能确定
8．RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，那么和ΔABC相似但不全等的三角形共有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
9．在RtΔABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列等式中错误的是（ ） A、AD? BD=CD2 B、AC?BD=CB?AD C、AC2=AD?AB D、AB2=AC2+BC2
AF1CG
10．在平行四边形ABCD中，E为AB中点，EF交AC于G，交AD于F， = 则
FD3GA的比值是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
11．在RtΔABC中，AD是斜边上的高，BC=3AC则ΔABD与ΔACD的面积的比值是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、8
12．在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则BD∶AD等于（ ） A、a∶b B、a2∶b2 C、a ∶b D、不能确定
3
二，填空题
1、如图,在△ABC中,DE∥BC, AD：AC=2：1，则△ADE∽△ ，∠C=∠ △ABC的面积：△ADE的面积= .
C A A E
D 1 E D G E
A D B B C B F C (第1题图) (第2题图) (第3题图)
2、已知:如图,直线DE交△ABC的两边AB、AC于点D、E,且∠1=∠B则
(()(?)()(?)(). )3、如图,DE∥BC,则△ ∽△ ,若AD=3,BD=2,AF⊥BC,交DE于 G,则AG:AF= ： , △AGE∽△AFC,且它们的相似比为 .
4、如图,平行四边形ABCD中,P是CD上的一点,CP:DP=3:4,则三角形APB的面积:平行四边形ABCD的面积= ,S△BCP：S△APD：S△APB= ： ：
5、已知：如图,梯形ABCD的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高为12cm,点M为腰AD、BC的交点,则点M到上底CD的距离为 cm,点M到下底AB的距离为 cm.
D P C M D C
D C
A B A B A B （第4题图） （第5题图） (第6题图) 6、如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥AB，BD⊥AD，CD∥AB，且BD=3，CD=2，则下底AB的长是 . 7、如图，在△ABC中，DE∥BC,且△ADE的周长与△ABC的周长之比为是3:7，若DE=15cm,则BC= cm, AD:BD= .
A A
D E （ D
B C C B (第7题图) (第8题图)
4
2AB，在3AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，则AE等于 .
8、如图，在△ABC中，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=
9、若△ABC∽△A1B1C1，AB=3，A1B1=4.5，且S△ABC+S△A1B1C1=78，则S△A1B1C1= .
10、如图，CD是直角三角形ABC斜边上的高，（1）若AD=9cm,则BD= ； （2）已知AB=25cm，BC=15cm，则BD= . C
A D B
【强化练习】
1、已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且BD=CE,AD、BE相交于点M
(1)△AME∽△BAE; (2)BD2=AD?DM. A
E M B D C
2、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F, 求证：FD2?FB?FC A
E
F B D C
5
3、已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。
求证：EF2?DF?DA
D
F A E
B C
4、如图，在RtΔABC中，∠ADB=90°,CD⊥AB于C，AC=20CM,BC=9CM,求AB及BD的长 D
B AC
5、如图，已知ΔABC中，AD为BC边中线，E为AD上一点，并且CE=CD, ∠EAC=∠B,求证：ΔAEC∽ΔBDA,DC2=AD?AE A
E
BCD
6