现代结构化学 2010.9
第一章 量子力学基础知识
练习题
1.（北师大95）微观粒子体系的定态波函数所描述的状态是（ B ） A. 波函数不随时间变化的状态 B．几率密度不随时间变化的状态 C. 自旋角动量不随时间变化的状态 D. 粒子势能为零的状态
2.（北大93）?是描述微观体系（运动状态）的波函数。
3.（北师大20000）若???1?ei??1，其中?为实常数，且?1已归一化，求
?的归一化常数。
解：设??A(?1?ei??1)是归一化的，
?2i?i?*2?i?i???d??A(??e?)(??e?)d??A(2?e?e)?1 111??1A?12?e?i??ei??12?2cos?
4.（东北师大99）已知一束自由电子的能量值为E,写出其德布罗意波长表达式，并说明可用何种实验来验证（10分）
??hhh?? E=1/2mv2 (mv)2=2mE 电子衍射实验 Pmv2mE5.（中山97）（北大98）反映实物粒子波粒二象性的关系式为（E?hv,P?h?）
l26．（中山97）一维势箱长度为l，则基态时粒子在()处出现的几率密度
1
最大。
（中山2001）一维势箱中的粒子，已知??(
l3l(2n?1)l,,.......,)处出现的几率密度最大。 2n2n2n2n?x，则在sinll解法1：ψ的极大和极小在ψ2中都为极大值，所以求ψ的极值（包括极大和极小）位置就是几率密度极大的位置。
2n?x??sinll
2n?n?x?'? cos?0llln?x(2m?1)?? m?0,1,2,3...l2 (2m?1)lx? m?0,1,2,3...2n 0?x?l ?(2m?1)?2n
2
解法2：
22n?x2n?x2P???sin??sin 几率密度函数
ll ll求极值：(sin2α=2Sinα?cosα)
2n?xn?xn?P'?2sincos llll2n?2n?x?2sin?0ll2n?x2n?xsin?0 =m? m?0,1,2,3,...llmlx?2n2xm = 0?x?l ?m?2nlnm?0,2n为边界，不是极值点m?1为极大值，m?2为极小值...ml?极大值位置为 x? m?1,3,5...(2n?1)2n3h27.（北大93）边长为l的立方势箱中粒子的零点能是(E?) 28ml8.（北大94）两个原子轨道?1和?2互相正交的数学表达式为(??1??2d??0) 9. 一维谐振子的势能表达式为V?kx2，则该体系的定态薛定谔方程中的哈密顿算符为（ D）
22121212??kx C. ??2?kx2 A. kx B.
22m22m22d212d212?kx E. ??kx D. ?222mdx22mdx2212 3
?,A?和A?对任意f的作用为 10.(北师大04年) 设算符A1,A234??f?A1?f?2f,A?f?df,A?f?f?f, f,A234dx?,A?) 指出哪些算符为线性算符(A2311.?1,?2是某原子的可能状态,下列哪些组合也是该原子的可能状态? a. ?1??2 b. ?1??2 c . ?1??2 d. ?1??2 (a, d)
12. 写出一个电子在长度为a的一维势箱中运动的Hamilton算符.
d??? H 22mdx2213.（北师大02年）
(1) 给出用原子单位表示的下列算符表达式
222???2?2?2?P?2?P??PP??(2?2?)(a)电子的动量平方算符为 xyz?x?y?z2(b) 原子核看作不动，He原子的Hamilton算符
???1?2?1?2?2?2?1 H1222ra1ra2r12???i(x??y?)Mz?xpy?ypx Mz?y?x(c)角动量在z方向分量的算符 ????i或 M ?1z??(2). H原子处于态 ??2?1s?6?2s，?1s和?2s分别为H原子的1s和2s原子轨道，对应的能量分别为E1s,E2s，给出H原子的平均能量。 解法一 E?????H?d????d??
4
?(2??6?)d?(2??6?)H?E?????d??(2??6?)(2??6?)d???d??26?H??d??26?H??d??6?H??4??H????4??d??26???d??26???d??6??d?1s2s1s2s?1s2s1s2s1s1s1s2s2s1s2s21s1s2s2s1s22s????H?d?2sd? 4E1s?0?0?6E2s1023?E1s?E2s55?解法二 ??2?1s?6?2s 组合系数ci2表示物理量?i对总物理量?的贡献。
将?归一化， ????d??1， 则归一化后 ???因此，E1s对E的贡献为14. （北师大05年）
(1).?1,?2,?3是体系的可能状态，下列哪种组合也是体系的可能状态（ d ） a. 3?1??2 b. ?2??3 c. ?1??2?2?3 d.以上三种均是
6h2(2). 在边长为l的三维势箱运动的微观粒子，当能量为E?时，简并
8ml223?1s??2s
5104623，E2s对E的贡献为。 E?E1s?E2s 101055度为（ c ）
a.1 b.2 c.3 d.4 解 E?2(nx?ny2?nz)2h28ml2222 nx?ny?nz?6
1 1 2
(3). 某波函数为??c(2?1?3?2)，?1和?2是正交归一化的，那么常数c的值为（
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