超几何分布和二项分布的联系和区别
开滦一中 张智民
在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?
好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.
诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的
教材中的定义: (一)超几何分布的定义
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k) =
CkMn-kN-MCnC,k?0,1,2，?, m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N,称随机变量X服从超
N几何分布
(二)独立重复试验和二项分布的定义
1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则
P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为P,则P(X=k)=Cknp(1?p)kn?k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),
并称P为成功概率。
1.本质区别
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;
(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题
2.计算公式
超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)
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=
CkMCnn-kN-MC,k?0,1,2，?, m,
N二项分布:在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为P,则P(X=k)=Cknp(1?p)kn?k(k=0,1,2,…,n),
温馨提示:当题目中出现“用样本数据估计XXX的总体数据”时,均为二项分布问题。比如2017-2018高三上学期期末考试19题。 二、二者之间是有联系的
人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：
例.某批n件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽出3件进行检验,问:
(1)当n=500,5000,500000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率各是多少?
(2)根据(1)你对超几何分布与二项分布的关系有何认识? 人教版配套的教学参考上给出了如下的答案与解释说明 【解】(1)在不放回的方式抽取中,每次抽取时都是从这n件产品中抽取,从而抽到次品的概率都为0.02.次品数X~B(3,0.02),恰好抽到1件次品的概率为 P(X=1)=C31×0.02×(1-0.02)2=3×0.02×0.982≈0.057624。
在不放回的方式抽取中,抽到的次品数X是随机变量,X服从超几何分布,X的分布与产品的总数n有关,所以需要分3种情况分别计算
①n=500时,产品的总数为500件,其中次品的件数为500×2%=10,合格品的件数为490.从500件产品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率为
P(X?1)?C10C490C500312?30?490?489500?499?498?0.05785 3②n=5000时,产品的总数为5000件,其中次品的件数为5000×2%=100,合格品的件数为
4900.从5000件产品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率为
P(X?1)?C100C4900C5000312?300?4900?48995000?4999?4998?0.057674 7③n=50000时,产品的总数为50000件,其中次品的件数为50000×2%=1000,合格品的件
数为49000.从50000件产品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概
P(X?1)?C1000C49000C50000312?3000?49000?4899950000?49999?49998?0.057626
(2)根据(1)的计算结果可以看出,当产品的总数很大时,超几何分布近似为二项分布.这也是可以理解的,当产品总数很大而抽出的产品较少时,每次抽出产品后,次品率近似不变,这样就可以近似看成每次抽样的结果是互相独立的,抽出产品中的次品件数近似服从二项分布
【说明】由于数字比较大,可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：
第一,n次试验中,某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时,X服从二项分布;当这n次试验是不放回摸球问题,事件A为摸到某种特性(如某种颜色)的球时,X服从超几何分布。
第二,在不放回n次摸球试验中,摸到某种颜色的次数X服从超几何分布,但是当袋子中
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的球的数目N很大时,X的分布列近似于二项分布,并且随着N的增加,这种近似的精度也增加。
从以上分析可以看出两者之间的联系:
当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,可以近似把超几何分布认为是二项分布 下面看相关例题
例1.(2016·漯河模拟)寒假期间,我市某校学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶),若幸福度分数不低于8.5分,则称该人的幸福度为“幸福”
(1)求从这16人中随机选取3人,至少有2人为“幸福”的概率；
（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到“幸福”的人数,求ξ的分布列及数学期望
先不要急于看答案,大家先自己解一下这道题再往下看,会有意想不到的收获哦
[错解](1)由茎叶图可知,抽取的16人中“幸福”的人数有12人,其他的有4人;记“从这16人中随机选取3人,至少有2人是“幸福”,”为事件A.由题意得
P(A)?1?C433C16?C4?C12C16321?1?1140?970?121140
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3 则P(??0)?C4C12C1612330?4560?1140；P(??1)?C4C12C163321?72560?970；
P(??2)?C4C12C163?264560?3370；P(??3)?C4C12C1630?220560?1128；
所以ξ的分布列为
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[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出“以这:16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解,而不能按照超几何分布去处理
【正解】(1) (1)由茎叶图可知,抽取的16人中“幸福”的人数有12人,其他的有4人;记“从这16人中随机选取3人,至少有2人是“幸福”,”为事件A.由题意得
P(A)?1?C433C16?C4?C12C16321?1?1140?970?121140
342)由茎叶图知任选一人,该人幸福度为“幸福”的概率为
?~B(3,34)
3，ξ的可能取值为0,1,2,3,显然
?1?则P(??0)????4??164；P(?27?1)?C313?1?????4?4?2?964；
P(??2)?C32?3??1????????4??4?2?3?；P(??3)????64?4?3?2764；
从以上解题过程中我们还发现,错解中的期望值与正解中的期望值相等,好多学生都觉
得不可思议,怎么会出现相同的结果呢?其实这还是由于前面解释过的原因,超几何分布与二项分布是有联系的,看它们的期望公式：
(1)在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,随机变量Ⅹ服从超几何分布,超几何分布的期望计算公式为EX=
MNnMN(可以根据组合数公式以及期望的定义推导);
(2)随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p), EX=np; 当超几何分布中的N??时,
?p,此时可以把超几何分布中的不放回抽样问题,近
似看作是有放回抽样问题,再次说明N??时,可以把超几何分布看作是二项分布。
总结：综上可知,当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。 高考解题中,我们还是要分清超几何分布与二项分布的区别,以便能正确的解题,拿到满分。相信各位同学们手中都应该有历年真题卷和2018的模拟试卷吧,快去找几道二项分布和超几何分布的概率大题试试吧,争取概率满分，加油！
再比如：
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18.(本小题满分12分)（百所名校高考模拟金典卷五）
为了调查观众对某电视娱乐节目的喜爱程度,某人在甲、乙两地各随机抽取了8名观众做问卷调查(满分100分),现将结果统计如下图所示 (1)计算甲、乙两地被抽取的观众的问卷得分的平均分以及方差,并根据统计知识简单说明丽甲、乙两地观众对该电视娱乐节目的喜爱程度;
(2)以频率估计概率,若从甲地观众中再随机抽取3人进行问卷调查,记问卷分数超过80分的人数为E,求的分布列与数学期望
请看原题答案，居然是错解：
正解：（1）同上。
（2）因为题中说：以频率估计概率,即以该频率来估计甲地区的整体情况，“若从甲地观众中再随机抽取3人”即时强有力的证据，所以此题应为二项分布，而非超几何分布。
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