第五节 二次函数的图象及性质
,怀化七年中考命题规律) 年份 题型 题号 考查点 考查内容 分值 总分 2016 根据二次函选择 7 二次函数的数的表达式性质 判断顶点和4 开口方向 解答 22 二次函数的二次函数与综合题 三角形的综8 12 合应用 根据二次函数的表达式2015 填空 11 二次函数的性质 求它的顶点4 4 坐标和对称轴 (1)以射线扫过的面积为背景，经过平移确定二次函数的二次函数的2014 解答 24 图 关系式；10 10 象和性质 (2)二次函数与三角形综合求符合条件的点的坐标 2013 选择 3 二次函数的以选择题形概念 式判断二次3 函数 二次函数与二次函数的方程的关解答 24 图 系，二次函10 13 象和性质 数与反比例函数的综合应用 二次函数与2012 解答 24 二次函数的 圆的综合应图象和性质 用，二次函10 10 数的表达式和性质 二次函数、二次函数的反比例函2011 解答 24 图 数、相似8 8 象和性质 形、勾股定理的综合应用 (1)求二次二次函数的函数与x轴2010 解答 26 图 的交点坐10 10 象和性质 标；(2)求符合条件点的坐标； 1
(3)二次函数与一次函数的综合应用 纵观怀化七年中考，每年都涉及到此考点，在选择题、填空题、解答题中均有所呈现，但主要以解答题形式呈现，命题规律 且与圆、相 似形、一元二次方程，解直角三角形等综合一起，难度较高，往往是最后的压轴题． 预计2017年怀化中考中，仍然会考查此考点， 以解答题呈现的命题预测 可能性较大，基础题 目也可能出现，应强化二次函数的图象和性质的综合训练.
2
,怀化七年中考真题及模拟)
二次函数的图象及性质(3次)
2
1．(2016怀化中考)二次函数y＝x＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是( A )
A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4) B．开口向下，顶点坐标为(1，4) C．开口向上，顶点坐标为(1，4) D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)
2．(2013怀化中考)下列函数是二次函数的是( C ) A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
1
C．y＝x2＋2 D．y＝x－2
2
2
3．(2015怀化中考)二次函数y＝x＋2x的顶点坐标为__(－1，－1)__，对称轴是直线__x＝－1__． 二次函数的图象及性质的综合应用(3次)
2
4．(2016怀化二模)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x＋a的图象可能是( C )
,A) ,B)
,C) ,D)
5．(2014怀化中考)如图1，在平面直角坐标系中，AB＝OB＝8，∠ABO＝90°，∠yOC＝45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x s后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x＝3 s时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的表达式；
(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S＝8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解：(1)∵AB＝OB，∠ABO＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵∠yOC＝45°，∴∠AOC＝(90°－45°)＋45°＝90°，∴AO⊥CO，∵C′O′是CO平移得到，∴AO⊥C′O′，∴△OO′G是等腰直角三角
12
形，∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，∴OO′＝2x，∴y＝22x2x＝x；(2)当x＝3 s时，OO′＝233＝
2
1a＝－，
5??9a＋3b＝3，12
?6，∵36＝3，∴点G的坐标为(3，3)，设抛物线表达式为y＝ax＋bx，则解得∴抛物
2?64a＋8b＝0，8?
b＝，5
1281
线的表达式为y＝－x＋x；(3)设点P到x轴的距离为h，则S△POB＝38h＝8，解得h＝2.当点P在x轴上方
552
??
???
3
1282
时，－x＋x＝2，整理得，x－8x＋10＝0，解得x1＝4－6，x2＝4＋6，此时，点P的坐标为(4－6，2)或
55
1282
(4＋6，2)；当点P在x轴下方时，－x＋x＝－2，整理得，x－8x－10＝0，解得x1＝4－26，x2＝4＋
5526，此时，点P的坐标为(4－26，－2)或(4＋26，－2)，综上所述，存在点P的坐标为(4－6，2)或(4＋
6，2)或(4－26，－2)或(4＋26，－2)，使△POB的面积S＝8.
32
6．(2013怀化中考)已知函数y＝kx－2x＋(k是常数)．
2
(1)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求k的值；
32
(2)若点M(1，k)在某反比例函数的图象上，要使该反比例函数和二次函数y＝kx－2x＋都是y随x的增大
2
而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
3222
(3)设抛物线y＝kx－2x＋与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1 2 点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积；若不存在，请说明理由． 332 解：(1)①当k＝0时，函数y＝－2x＋的图象与x轴只有一个交点；②当k≠0时，若函数y＝kx－2x＋的 2233222 图象与x轴只有一个交点，则方程kx－2x＋＝0有两个相等的实数根，∴(－2)－4k3＝0，即k＝.综上所 223 2mm 述，若函数的图象与x轴只有一个交点，则k的值为0或；(2)设反比例函数为y＝，则k＝，即m＝k.所以， 3x1 k32 反比例函数为y＝，要使该反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，则k<0，二次函数y＝kx－2x＋ x2 1213132 ＝k(x－)－＋的对称轴为x＝，要使二次函数y＝kx－2x＋是y随着x的增大而增大，在k<0的情况下，x kk2k2 1 必须在对称轴的左边，即x<时，才能使得y随着x的增大而增大，∴综上所述，要使该反比例函数和二次函数 k 1322 都是y随着x的增大而增大，k<0且x<；(3)∵抛物线y＝kx－2x＋与x轴有两个交点，∴一元二次方程kx－ k2 2 x1＋x2＝， k 33222 32x＋＝0的判别式Δ＝(－2)－43k3>0，即k<，又∵∴k＋3k－4＝0，∴k＝－4或k＝1.又 223x1x2＝， 2k ?????x＋x＝1. 2 1 22 2222222 ∵k<，∴k＝－4，在y轴上，设P(0，b)是满足条件的点，则(b＋x1)＋(b＋x2)＝(x2－x1)，b＝－x1x2，∴|b| 3＝＝ 6637711762222 ，∴b＝±，(x2－x1)＝2b＋x1＋x2＝23＋1＝，∴x2－x1＝，∴SRt△ABP＝(x2－x1)3|b|＝33448422224426642，∴在y轴上，存在点P1(0，)，P2(0，－)，使△ABP是直角三角形，△ABP的面积为. 164416 7．(2010怀化中考)下图是二次函数y＝(x＋m)＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)． (1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标； 5 (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB＝S△MAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理 4 由； (3)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y＝x＋b(b<1)与此图象有两个公共点时，求b的取值范围． 2 4 222 解：(1)∵M(1，－4)是二次函数y＝(x＋m)＋k的顶点坐标，∴y＝(x－1)－4＝x－2x－3，令x－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A、B两点的坐标为A(－1，0)，B(3，0)；(2)在二次函数的图象上存在点P，使S△PAB 5115 ＝S△MAB，设P(x，y)，则S△PAB＝|AB|3|y|＝2|y|，又S△MAB＝|AB|3|－4|＝8，∴2|y|＝38，即y＝±5，∵4224 二次函数的最小值为－4，∴y＝5，当y＝5时x＝－2或x＝4，故点P的坐标为(－2，5)或(4，5)；(3)当直线y＝x＋b(b<1)经过A点时可得b＝1，当直线y＝x＋b(b<1)经过B点时，可得b＝－3，由图象可知符合题意的b的取值范围为－3 ,中考考点清单) 2 二次函数的概念及表达式 2 1．定义：一般地，如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y＝ax＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)，那么称y是x的二次函数，其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 2．三种表示方法： 2 (1)一般式：y＝ax＋bx＋c(a≠0)； 2 (2)顶点式：y＝a(x－h)＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标． 3．三种表达式之间的关系 确定分解因式 顶点式――→一般式――→两点式 4．二次函数表达式的确定 (1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式； A．当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式； B．当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式； C．当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y＝a(x－x1)(x－x2)． (2)步骤： ①设二次函数的表达式； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组； ③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式． 5