7．（2013?枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连结OP，根据切线的性质得OP⊥AP，由OB=AB得OA=2OP，然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到此时∠OAP的度数． 【解答】解：当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连结OP，如图， 则OP⊥AP， ∵OB=AB， ∴OA=2OP， ∴∠PAO=30°． 故选D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
二．填空题（共12小题） 8．（2013?武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ﹣1 ．
【考点】正方形的性质． 【专题】压轴题．
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG， 在△ABE和△DCF中，
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，
∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°， ∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°﹣90°=90°，
取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH=AO=AB=1， 在Rt△AOD中，OD=
=
=
，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值=OD﹣OH=﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆故答案为：
﹣1．
上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点． 9．（2015?黄陂区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 ＜CM＜ ．
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【考点】轨迹．
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解． 【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB===5，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CE=AB=．
∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴ME=AD=1．
∴在△CEM中，﹣1＜CM＜+1，即＜CM＜． 故答案是：＜CM
．
【点评】本题考查了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 10．（2012?宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形． 【专题】压轴题．
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【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段
EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短， 如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， ∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×由垂径定理可知EF=2EH=故答案为：．
．
=
，
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形． 11．（2015?峨眉山市一模）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=10，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．若⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则半径r的取值范围是： 2≤r＜10 ．
【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】首先证明AB=AC，再根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围即可． 【解答】解：连接OB．如图1， ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°， ∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
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∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC，
作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，如图2， ∴OE=AC=AB=
又∵圆O与直线MN有交点， ∴OE=∴
2
，
≤r， ≤2r，
2
即：100﹣r≤4r， 2
∴r≥20， ∴r≥2．
∵OA=10，直线l与⊙O相离， ∴r＜10，
∴2≤r＜10．
故答案为：2≤r＜10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度． 12．（2013?长春模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则PQ长的最小值为
．
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