三角形中边与角之间的不等关系教案
科目 课题 教 学 目 标 数学 指导教师 曹国英、顾春霞 授课教师 课型 王建梅 时间 活动课 2014.11.27 三角形中边与角之间的不等关系 知识与技能：（1）知道三角形中边与角的不等关系； （2）能利用轴对称的性质进行探究三角形的边角不等关系，能利用三角形边角相等的知识，解决边角之间的不等问题. 过程与方法：经历\观察→猜想→验证→证明\等一系列活动，获得合情推理、归纳推理能力，积累数学活动经验. 情感与态度：提供动手操作的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验. 教学重点 教学难点 教学过程 添加辅助线,将边角之间的不等问题转化为“一个角是另一个角所在三角形的外角”的问题. 折纸的无意操作与辅助线的有意添加结合. 教学过程 一、课题引入 我们知道，在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等.如果两条边不相等，那么：这两条边所对的角会不会相等？ 二、 探究\大边对大角\（一）观察图形，提出猜想 1）让学生自己动手制作不等边三角形（为了教学方便统一制作△ABC，且AB＞AC）. 2）通过观察图形，猜想性质. BCA设计意图 类比等腰三角形的边角关系猜想. 通过观察图形发现：在一个三角形中角之间的不等关系. 根据研究几何问题的一在⊿ABC中，边AC对∠B，边AB对∠C，同学们通过肉眼观察可得到∠C大于∠B，般思路和方法,体会观察故猜想大边对大角. （二）验证猜想 量角器测量或折纸. ① 叠合法：沿ＢＣ边的垂直平分线折叠. ② 沿角平分线折叠：作∠BAC的角平分线AD，将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）. B C' D B D C A E A —猜想—验证—推理证明的过程. 培养学生的动手操作能力,为后面证明时添加辅助线作铺垫. C 1 ③沿高翻折：作BC边的高AD,将△ADC沿AD翻折（或将△ADB沿AD翻折）. 追问：通过折纸，如何说明∠C >∠B？ 通过几何画板演示验证猜想的正确性,并归纳猜想. 猜想：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（简写成\大边对大角\）. （三）证明猜想 师：我们通过折纸和几何画板验证了猜想是正确的，你能否用学过的知识来证明你的猜想？ （1） 你能根据文字命题画出图形，写出已知、求证吗？ （2） 你认为证明两个角不等的方法是什么？ （3） 从折纸的过程中你能获得什么启发？ 已知：如图，在△ABC中，AB>AC . 求证：∠C >∠B. 证法一: 证明：作△ABC中∠A的平分线，与边BC交于点D.在边AB上截取AE，使AE=AC,连接DE. ∵AD为∠BAC的角平分线（已知） ∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义） 在⊿EAD和⊿CAD中 BDCEA A 既对所需知识进行合理B C' D C 复习，也为后面学生添加辅助线构造基本图形奠定了基础. 验证猜想具有一般性. 通过讲解，提高学生语言表达能力和归纳能力. 会进行文字语言、图形语言、符号语言的转换. 培养学生语言表达能力和归纳能力. 让学生逐步实现由实验几何到论证几何的过渡. 规范书写几何推理的过程，尤其是注意辅助线的说明和折纸方法对应结合，将无意识的操作A ?AE?AC(作图）∵? ??BAD??CAD（已证）?AD?AD（公共边）?∴⊿EAD≌⊿CAD（SAS） ∴∠C=∠AED（全等三角形的性质） 又∵∠AED=∠B+∠BDE ∴∠AED>∠B. ∴∠C>∠B（等量代换）. 或作△ABC中∠A的平分线，与边BC交于点D.在AC延长线上截取AB’，使AB’=AB，连接B’D . B' B D C 变为有意识的添加辅助线. 2 证法二 过A作BC的垂线，垂足为D，在BD边上截取DC’，使DC’=DC，连接AC’ . 小结：沿角平分线所在直线翻折，使∠B或∠C转移位置，利用三角形外角的性质证明了∠C >∠B. 证法三： 在边AB上截取AD,使AD=AC，连接CD. 由等边对等角可知∠ADC=∠ACD. 又由三角形中外角的性质知∠ADC=∠B+∠DCB. 所以∠ADC＞∠B，又因为∠ACB=∠ACD+∠DCB. 所以∠ACB＞∠ACD 所以∠ACB＞∠B. 或：由于AB>AC，故可延长AC到E，使AB=AE. 归纳结论：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大. （简写成：在一个三角形中，大边对大角）. 符号表示：∵在⊿ABC中，AB>AC ∴∠C >∠B. 从对“大边对大角”的探索过程中，你有何收获？ （１）折纸对我们添加辅助线的启发 （2）利用等腰三角形和轴对称的性质（截长补短）构造全等，将角进行转移.转化为“一个角为另一个角所在三角形的外角”. （四）巩固应用 如图, ⊿ABC中，AD是中线，如果AB>AC，判断∠BAD与∠DAC的大小关系，并给予证明. A B C E BDCA A B C' D C 让学生在运用不同方法证明的过程中提高思维的深刻性和广阔性. 学生充分利用边不等的已知条件添加辅助线. 培养学生总结归纳的能力，和评价反思的意识. 不同方法添加辅助线的本质是相同的. 例题条件中没有角平分线、高等条件，区别于前面的题，学生经过尝试，翻折变换无法实现，为实现目标角的转移，引导学生关注中点条件. 3 通过此题让学生充分巩固和掌握利用旋转变换添加辅助线的方法以及利用“大边对大角”证明角不等关系的方法. 三、小结提升 通过小结，使学生梳理1、本节课通过对三角形边角不等关系的探究，我们了解了研究几何问题的方法. 本节课所学内容和研究“观察图形→猜想性质→实践检验→推理证明”等一系列活动. 2、 在解决问题时，我们可以将新问题转化到我们已知的、熟悉的定理，用已有方法，把握本节课的核心——转化，提升学生思的知识解决新问题.利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，维的深刻性，养成善于转化为外角的问题，这种转化的思想是研究几何问题时常用的方法. 四、布置作业 1、整理做法：选出两种你喜欢的作法完成证明. 2、类比今天探究“大边对大角”的活动过程，请你探究“大角对大边”. 3、请你写出今天探究过程中用到的所有数学知识. 作业1：规范书写几何推理的过程，并进一步巩固所学. 作业2的推理，让学有余力的同学课后充分探究，提高知识方法的迁移能力，并锻炼克服难题的毅力. 总结的学习习惯. 4