甲
21.8
1.61.4 1.210.8
0.60.4 0.201995199619971998
19992000乙
30262218141062199519961997199819992000
图2-1
甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡；
乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个. 请您根据提供的信息说明：
（1）第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.
（2）到第6年这个县的养鸡业比第1年扩大了还是缩小了？（说明理由） （3）哪一年的规模最大？（说明理由） 分析 ①总只数=平均只数×养鸡场个数.
②观察图像得出平均只数成等差数列上升，养鸡场个数成等差数列下降.
解 （1）由图2-1可知: 第2年养鸡场的个数是26个，那么全县出产鸡的总只数
S?26?1.2?31.2（万只）.
（2）第一年总共出产鸡的只数S1=30?1=30（万只），第六年总共出产鸡的只数
8
S6=2?10=20（万只），
得
S1-S6=30-20=10（万只），
这证明规模减少了.
（3）图2-1甲满足数列：an?1??n?1??0.2?0.2n?0.8?1?n?6?；
图2-1乙满足数列：bn?30?4?n?1???4n?34?1?n?6?，
每年出产鸡只数满足数列
Sn?an?bn?-0.8n2+3.6n+27.2 ?1?n?6?，
当n?2时，S2最大，即第2年规模最大且S2=31.2（万只）.
第3节 建模解题的基本题型
基于对中学数学应用问题的分析，通常建立如下一些数学模型来解应用问题： 一、建立方程（函数）或不等式模型，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用数学知识和方法去解决问题.
例4 （水费问题）我国是水源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费. 若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若每月用水量超过最低限量am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每m3付b元的超额费，已知每户每月定额损耗费不超过5元.
该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示:
表2-2
月份 一 二 三
用水量（立方） 9 15 22 水费（元） 9 19 33 根据上面表格中的数据，求a、b、c.
9
解 设每月用水量为xm3，支付费用为y元，则
y?8?c?0?c?5?， （2-1） y??x?a??b?8?c?x?a?， （2-2）
由题意知 0?c?5，所以8?c?13，由表知第二、三月份的费用均大于13元，故 用水量15m3、22m3均大于最低限量am3， 将x=15，x=22分别代入（2-2）式，得
b?2，
所以
2a?c?19. （2-3） 再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不防设9?a，将x=9代入（2-2）式得
9?8?2?9?a??c，2a?c?17，
与（2-3）式矛盾，所以
9?a，
故一月份的付款方式应选（2-1）式，则
8?c?9，c?1，
因此
a?10，b?2，c?1.
二、建立数列模型，现实世界的经济活动中，诸如增长率、降低率、复利、分期付款等与年份有关的实际问题常常归结为数列问题，通过建立数列模型来解决.
例5 （购房付款方式问题）某房地产开发公司因有大量住房闲置，为盘活资金，促进住房销售，提出了两种优惠售房方案: 第一种方案是分期付款，2000年元月要求购房者先付12万元，然后从第二年起每年元月付款2万元，连续付5年（假设这5年中银行存款的年利率为2%）；第二种方案是2000年元月一次性付款21.2万元，如果购房者都从银行取款购房，试问: 他们采用哪一种方案付款合算，请加以说明.
（结果精确到小数点后两位，计算时，可以选用如下数据: 1.024?1.08，1.025?1.10，1.026?1.13）.
10
解 终值比较法，选择比较的时点是2005年元月 分期付款模型
2000 2001 2002 2003 2004 2005
12 12?1?200? ? ? ? 12(1+2%)5 2 2?1?200? ? ? 2?1?200?4
2 ? ? 2?1?200?3
2 ? 2?1?200?2
2 2?1?200?
2 经分析得
S分=12(1+2%)5+2(1+2%)4+?+2(1+2%)+2?23.2万元， S合=21.2 ? 1.02?23.32万元，
可见第一种方案比较合算.
三、建立三角函数模型
例6 通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，落潮时离开，某港口水深y与时间t的函数记作y?f?x?，下面是该港口在某季节每时水深的数据:
表2-3
t y
1 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0 经长期观察，y?f?x?的曲线可以近似看作函数y?Asin?t?k的图像.
问 一般情况下，船舶航行时船底到海底的距离在5米或5米以上是安全的，某船吃水深度为6.5米，如果该船想在同一天进出港，问至多能停留多久？
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解 根据数据得
y?3sin?6?10，
船出港时水深不小于5?6.5?11.5米，即
3sin?6?10?11.5，
得
2k???6??6t?2k??5?， 6同一天内取k?1或0，得
1?t?5 或 13?t?17，
所以最早凌晨1点进港，最迟下午17点出港.
四、建立计数（排列）模型，这一模型在日常生活中也是常常遇到的，在教材中这一模型的应用题较多
例7 （值日表的排法种数问题）A、B、C、D、E五个人排一个五天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻两天不能由同一人值，那么值日的表排法种数有多少种?
解 此题若从人选位置角度去分类考虑比较繁琐，转换角度，从位置选人去思考，将五天看作五个位置，首位五个人都有可能，第二位只有四个人有可能，第三位也是四个人有可能，第四位和第五位也是四个人有可能，如下图所示值日表排法种类共有5×4×4×4×4=1280种.
表2-4
5
五、建立增长模型
4 4 4 4 例8 某地现有耕地1万公顷，规划10年后，粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（1.099≈1.0937 1.0110≈1.1046）
解 建立数学模型：找出题中所涉及对象并用符号表示如下：
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