张掖市2012年4月高考诊断试卷数学（理科）参考答案
一、选择题： C ACCA DABCB BB 二、填空题：13．240 14． 三、解答题： 17．（1）由
7210 15．
y2?8x 16．5 a?csinBa?cb222?? 得 即b?c?a?bc b?csinA?sinCb?ca?c222?b?c?a1?，故A?.---------------------------------------------（3分） 得cosA?32bc2又因?ABC是锐角三角形，故故
??6?B??22?B?A
即
?2?B??3 得B??6
.-------------------------------------------------------------------------------（2分）
（2）由
a?2R，得2R?sinA223sin??2 依B?C?2?3得C?2??B 33于是b?c?4?sinB?sinC??2?1?cos2B?1?cos2C?
22??4????2B?? ?4?2?cos2B?cos2C??4?2?cos2B?cos??3????1?3????4?2?cos2B?sin2B ?4?2cos2B?????2?23??????2??4??B? 得?2B??依--------------------------------------------------（3分） 62333????时，即B?时，b2?c2取得最大值6. 知当2B?33?4??22?当2B?时，即B?时，b?c取得最小值5. 33222故所求b?c的取值范围是?5,6?.-------------------------------------------------------（2分）
18．（1）设丙考核优秀的概率为P，
依甲、乙考核为优秀的概率分别为可得
45、
23，乙考核合格且丙考核优秀的概率为
29.
12P?39，即P＝
23.---------------------------------------------------------------------（2分）
于是，甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率为1?（2）依题意??1.5,2,2.5,3
211144???.------（4分） 5334521?1?14?1?2118 P???2?????????2? P???1.5??????5?3?455?3?353454211?2?204?2?16 P???3??????-----------------（4分） P???2.5?????2?????5335?3?455?3?45高三数学（理科） 第 1 页 共 4 页
22于是?的分布列为
? P 1.5 2 2.5 3 19．（1）证法1 取AB1中点M-----------------------------------------------------------------（1分）
因MF82016 45454516771820??2.5??3?故E??1.5?+2?-----------------------------------------（2分） 453045454514511BB1，CE?BB1且CE?BB1，故MF?CE且MF?CE，（3分） 22因而CF?EM且CF?EM因此CF?平面AEB1。-----------------------------------------------------（2分）
?BB1且MF?证法2
以C为坐标原点，射线CA,CB,CC1为x,y,z轴正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz.
?0,0,0?,A?2,0,0?,B?0,2,0?，C1?0,0,4?，B1?0,2,4?， F?1,1,0?.
?????设E?0,0,m?，平面AEB1的法向量为n??x,y,z?，依A B1???2,2,4?，
??????????????AE???2,0,m?且n?AB1，n?AE.
则C??AB1?n??2x?2y?4z?0可得???? ???2x?mz?0??AE?n??取z?2，得n??m,m?4,2?-----------------------------------------------------------------（4分） 当E是棱CC1的中点时，m?2.
??????2,?2,2?及CF??1,1,0? 得 n?CF?0故CF?平面AEB1.-----------------（2分）
???（2）因平面EBB1的法向量为CA??2,0,0?，-------------------------------------------（2分）
则n?又二面角
????????????A?EB1?B的大小是450，故cos450?????CA?nCA?n
????即
22m?222m2??m?4??4 解得m?52.
5.----（4分） 22??b1?1?q?q??1420． （1）依S3?14，b1?8，3b2，b3?6成等差数列，得? ------------（2分）
2??6b1q?b1?b1q?14?q?2n2从而2q?5q?2?0 得?故bn?2.-------------------（4分）
?b1?2故在棱CC1上存在点E，使得二面角
A?EB1?B的大小是450.此时CE?（2）当n1?nn?11?2时，由an?2n???2???n?1??2n?2得1??1?nan2?22??22高三数学（理科） 第 2 页 共 4 页
.
要证明?1???1??2??n?3??1????1???e a1??a2??an???2?n?????ln1?????3.-----------------------------------（1分） 2n2?2??2?2?只需证ln2?ln?1?令
f?x??ln?1?x??x （x?0） 1?x/?1??0知f?x?在区间?0,???单调递减，f?x?max?f?0??0. 则依f?x??1?x1?x故当x?0时，f?x??0，即ln?1?x??x.
从而当n?2时，ln?1?????nn?n???2n?2?2n?22n?1----------------------------------------（2分）
于是ln2?ln?1?令Tn2?n?23n? ?ln2???????ln1????2n?12n2222?2??2?2?23n23n1?2??n?1 Tn?2?3?? n2222222111n3n?2n?21?n故Tn?3?n?1?3 得Tn?1?2?3??n?1?n?22222222?1??2??n?3故?1?1??1???e.--------------------------------------------------------（3分） ????aaa?1??2?n??421． （1）当PQ与x轴垂直时，tan?F1PF2?
3ac22c4得tan?F1PF2?2? 得2? 即a?2c----------------------------------------（2分）
bb33a2ax2y2?1.--------------（2分） ?4 解得c?1，a?2，b?3故所求椭圆C的方程为?又
43c（2）由点F1??1,0?，F2?1,0?，可设P?x1,y1?，Q?x2,y2? ① 当PQ与x轴垂直时，
11依S?FMF??PQ?F1F2???PF1?QF1?PQ??r（其中r为?PF1Q的内切圆半径）
1222?2b2?2c3a即PQ?2c?4a?r得r??此时可知??1----------------------（2分）
4a4②当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ的方程为得
y?k?x?1?
?3?4k?x2x2y2??1 代入43
2?8k2x?4k2?12?0
?2???144?k?1??0则? ---------------（2分） 8k2??x1?x2?3?4k2??4k2?12?x?x?3?4k2?高三数学（理科） 第 3 页 共 4 页
2212k?1??12k?12从而可得 PQ?1?k? ?3?4k23?4k22k又点F到直线的距离. PQ?1,0d??1?21?k11依S?FMF??PQ?d???PF1?QF1?PQ??r（其中r为?PF1Q的内切圆半径）
1222即PQ?d?4a?r----------（2分）
22kPQ?d112k?1得r????883?4k21?k2??42k?k＝3?＝3?4216k?24k?9116?81?k2k4?k2 知在区间
?0,???上该函数单调递增，故当k2???时，即直线PQ的斜率不存在时，r最大为4，
3?1综上所求为??1.------------------（2分）
122．（1）由ax?2?lnx??1对任意x?0恒成立，即x?2?lnx??对任意x?0恒成立
a/令h?x??x?2?lnx? 则h?x??2?lnx?1?1?lnx?0 得0?x?e
故h得h亦即?PF1Q的内切圆面积最大. 此时可知??x?在区间?0,e?上单调递增，在区间?e,???上单调递减，-----------------------（2分）
11?1? 得0?a?.故所求正实数a的取值范围是?0,.---------（1分）
?ae?e?121（2）由（1）知a? 此时f?x??x?3x?2lnx
2e2x2?3x?2/f?x??x?3???0得x?1或x?2，
xx?1?故f?x?在区间?,1?，?2,e?上单调递增，在区间?1,2?上单调递减.----------（3分）
?e?（3）由（2）知f?x?在区间?1,2?上单调递减，在区间?2,???上单调递增，
?x?max?h?e??e于是e?12x?3x?2lnx?2ln2?4即x2?6x?8??4lnx?4ln2. 22*从而k?6k?8??4lnk?4ln2，对任意k?N成立.----------------------------（2分）
故当x?1时f?x??f?2?.即
n于是
??kk?1n2?6k?8???k?1??4lnk?4ln2?
n?n?1??2n?1?6n?n?1???8n??4lnn!?4nln2
622n3?15n2?17n2n2n135231?8n?4ln. 即ln?n?n?n -------------（4分） 即
6n?12824n?即
高三数学（理科） 第 4 页 共 4 页