常微分方程习题 《李立康》
习题
1.用Euler方法求初值问题
?u??1?2tu ?u(0)?0?在t?1时的近似解（取h?2.初值问题
1）。 41??u??u3 ???u(0)?02?有解u(t)???t??3?3/2。但若用Euler方法求解，对一切T,N和h?T,都只H能得到ut?0,t?1,2,...,N，试解释此现象产生的原因。 3.用Euler方法计算
?u??u ??u(0)?1在t?1处的值，取h?11和，将计算结果与精确值u（1）?e相比较。 4164.设f(t,u)满足定理2.1的条件，对改进Euler法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为?h312u???(t)?O(h4)；
（2）当hL?1时，其整体截断误差满足：
?m?e2lT?n?R(e2Lt?1) hL（3）方法具有二阶收敛速度且稳定。 5.导出用改进Euler法求解
?u??u ??u(0)?1计算公式
um?2?h????2?h?? ??m取h?1计算u(1)的近似值，并与习题3的结果比较。 46.就初值问题
?u??at?b ??u(0)?0分别导出用Euler方法和改进Euler法求近似解的表达式，并与真解
u?a2t2?bt相比较。
7.证明改进Euler法的绝对稳定区域是整个左半平面Re(h)?0。 8.对初值问题
?u???u2 ??u(0)?1用h?11的Euler方法求解，求出实际计算值ut与真解u?在u(1)41?t处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。 9.证明：Runge-Kutta方法中?(t,u;h)关于t或u满足Lipschitz条件的充分条件是f(t,u)关于t或u满足Lipschitz条件。 10.证明定理2.6.
11.证明定理2.7的推论（推论2.1）：“N级Runge-Kutta方法相容的充分必要条件是?ci?1”。
i?1N12.Runge-Kutta方法并不是导出高阶单步方法的唯一途径，如令
g(t,u)?f?(t,u)?ft?ffu，则可将?(t,u;h)取为
?(t,u;h)?f(t,u)?h2g(t?h3,u?h3f(t,u))，
证明这是一个二阶的单步方法。
[提示：利用Taylor展开后比较相当项的系数的方法。] 13.证明三阶Runge-Kutta方法
?hu?u?(2k1?3k2?4k3)m?m?19??k1?f(t,u)? hh??k?f???t?,u?k1??222???????3h3h?k?ft?,u?k?32???44???对于求解微分方程
u??u?t
与三阶Taylor级数法的计算格式的形式完全相同。
14.对Heun二阶方法（2.10）式作出如图2.3那样的几何解释。 15.用Taylor级数法求方程
?u??u ??u(0)?11),u(0,2)的近似值（取q?4）的u(0,，并说明近似值精度情况。
16.求线性三步四阶显示方法的计算格式。（取?0为参数） 17.求具有最高阶的三步方法的计算格式。
18.设?(?),?(?)无公因子，证明线性多步方法至少二阶相容的充分必要条件是?(1)?0,??(1)??(1),???(1)????2??(1)
19.证明：与算子L[u(t);h]相应的线性多步方法q阶相容的充分必要条件是
L[tn;h]?0,n?0,1,...,q,
而L[tq?1;h]?0.此时误差常数为
cq?1cL[tq?1;h]?q?1. h(q?1)!20.讨论最高阶的两步方法（Milne方法（2.69）式）和最高阶的三步方法（习题17）的稳定性。 21.检验四步方法
hum?4?um?(8fm?4?4fm?2?8fm?1)
3是否收敛。 22.证明：方法
um?1?um?h6(2fm?1?4fm)?h26fm
的阶为二
23.推到计算格式
??1??2hum?,?u~m?2??1um?1??2um??1hum ???????u??u??u??hu??hu??hu~m?21m?12m1m?12m?m?2的系数?1, ?2,?1,?2,?,使方法有尽可能高的阶数，并讨论它的稳定性。24.讨论最高阶三步方法（习题17）的绝对稳定性。 25.讨论多步方法
um?1?a(um?2?um?1)?um?h2(3?a)(fm?2?fm?1)
当a取那些值时是稳定的；当a取那些值时有绝对稳定区域非空。
26.在两步三阶方法
um?2??41(3?0?1)um?1?(12?0?1)um55h5
[(2??0)fm?2?4(2?0?1)fm?1?5?0fm]yu中，讨论当?0在什么范围种变化才能使算法绝对稳定。设此时的绝对稳定区域在实轴上的范围是[a,b]，求a,b的值。 27.用公式（2.101）推到k?3和4时的Gear方法。
28.用公式（2.101）求下列计算公式的截断误差阶和各项系数： （1）um?1?um?hfm?1（向后Euler公式）； （2）um?2?4um?1?3um?2hfm；
（3）k?2和3时的Adams外插公式和内插公式。
29.证明：一步Gear方法（习题28之（1））和两步Gear方法（2.102）式都是A-稳定的。
30.求一级、二级隐式Runge-Kutta方法（2.116）式、（2.117）式局部的截断误差项。
31.证明：（2.116）式（2.117）均为A-稳定的方法。
计算实习
1.编一个用Euler方法解
?u??f(t,u) t0?t?T ?u(t)?a?0的程序，使之适用于任意右端函数f，任意步长h和任意区间[t0,T]。用h?111,,分别计算初值问题 4816