北航研究生数值分析编程大作业1(3)

四、分析迭代初始向量对计算结果的影响

选择不同的初始向量u[N]可能会得到不同的特征值。 选取u[N]?{1,0,0,???,0}时，运行结果如下：

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选取u[N]?{1,1,1,???,1}时，运行结果如下：

选取u[N]?{1,1,1,???,0,0,0}时（i=int(N/2)时为0），运行结果如下：

选取u[N]?{0,0,0,???,1,1,1}时（i=int(N/2)时为1），运行结果如下：

通过以上类似的实验可以大致看出这样的规律：

?1的值趋近于?1.07001136150e?001有两种情况： （1）当u[N]的元素中，1的个数较多时;

（2）在1的个数相同的条件下，1的分布越靠中后段，

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观察??对应的特征向量可以发现：

（1）随着i的增加，特征向量元素的绝对值不断增大，即绝对值较大的数集中于中后位置。因此，如果初始向量的非零元素集中在中后段，该初始向量会更容易逼近对应的特征向量，得到的结果也越准确。

对于，初始向量的非零元素集中在前半段的情况进行实验，会发现当算法中不考虑给定的精度水平，强制性执行足够高次数（大约在300多次以上）的迭代，运算结果也会趋近于?1.07001136150e?001。这就说明，程序之前没有得到准确结果的原因，是因为迭代次数不够。当迭代次数在100到200次左右时，每一次迭代所造成的相对误差小于给定的精度水平，因此，如果由精度水平来控制循环迭代的次数，程序将错误地判断已经收敛，但实际上，当继续迭代到300次以上时，运算结果会突然变化，直至最终稳定在?1.07001136150e?001。

由此，可以得出结论，当迭代次数足够高（300次以上）时，得到的结果会趋于稳定，不同的初始向量和选定的精度水平，决定着程序是否出现以及何时出现假收敛。当所选取初始向量的非零元素越多，以及非零元素的位置越靠后时，收敛会更加迅速、准确。

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