关于无穷级数求和问题的探讨
方先锋
（莆田学院数学系 指导教师：林美琳）
摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容,无穷级数的和对于研究无穷级数的特性、函数敛散性、近似计算等都有重要的作用，本文介绍了无穷级数求和的一些方法，如裂项相消法、逐项微分或积分法、转化为函数项级数求解法、利用子列的极限等等，以及这些方法在具体例子中的应用，其目的是为了让读者更加熟练地掌握无穷级数求和方法及技巧，从而进一步促进其对该知识的学习和理解无穷级数，为以后更深入的学习数学做好准备。
关键字：级数求和;逐项积分;函数项级数;拉普拉斯变换
Abstract: Infinite series is an important part of mathematical analysis, infinite series and for research the characteristics, function infinite series converges scattered sex, approximate computation has important effect, this paper introduces some methods of infinite series summation, such as Cancellation Method of Splitting, item by item, a photograph of differential and integral method, is transformed into a function of series method, using subsequence limit, etc, and these methods in specific examples of application, Its purpose is to let the reader more mastered the infinite series summation methods and skills, thus further promote its to the knowledge learning and understanding infinite series, for further study mathematics ready.
Keywords: Series summation; Item by item, integral; Function of series; Laplace transform
1
引言
无穷级数不仅是研究分析学的重要工具，同时在自然科学和工程技术中有许多问题也可以由无穷级数来解决。这是因为，一方面有很多函数可以用无穷级数来表示；另一方面，又能借助于无穷级数来研究函数逼近和近似计算等问题。所以无穷级数理论在理论或实际应用中，都是研究函数的一种重要数学工具。要掌握这一工具无穷收敛级数求和的问题，便成为一个基本又很重要的一个课题了。
我们在研究级数的敛散性时, 当级数收敛的情况下, 如何去求出其和, 有时是比较麻烦的事。对于无穷级数求和的这一问题，李素峰、张春平、郑春雨、蔡炯辉等人对此有一定的研究，并撰写了与此相关的一些文章，对学生学习起到了一定的指导作用 但他们的文章篇幅甚少，内容简单，没有系统全面地介绍无穷级数求和的方法，本文作者通过长时间阅读大量的文献学习研究，研究级数求和方法以飨读者。
?1??2??3??4?1 利用级数和的定义求和法
定义
?5?：如果级数
?un?1?nimsn?s，则称无穷级数的部分和数列{sn}有极限s，即lx???un?1?n收敛，
这时极限s叫做这级数的和，并写成s?u1?u2?...?un?...；如果级数
2n?1例1 求和 1?2x?3x?...?nx?...,x?1.
?un?1?n没有极限，则称无穷
?un?1?n发散。
??分析：我们可以根据已知级数的特点：后一项中的x的次数都比前一项的次数多一，这样我们就可以乘以一个x，然后作差，最后再取极限。 解：记部分和Sn?1?2x?3x2?...?nxn?1 则xSn?x?2x2?3x3?...?nxn
两式相减得：?1?x?Sn?1?x?x?...?x2n?1?nxn
1?xn?nxn ?1?x1?xnnxn?Sn?? 2?1?x?1?x?1?xnnxn?1??取极限后易得：S?limSn?lim? ?x?1?. ?22n??n?????1?x?1?x???1?x??n例 2 求级数?n?1的和。
n?13分析：由已知级数的通项可知：它的后一项的分母是前一项分母的3倍，我们把通项的分母先乘以3，然后作差，最后取极限。
23n解：?Sn?1??2?...?n?1 ?1?
333 2
1123n?2?3?...?n ?2?
33333由?1???2?得：
Sn?12111nSn?Sn?Sn?1??2?...?n?1?n
3333331??1??1?n?2?3??n?3?1?1??n 即Sn??nn?n133233??1?32?3?1?n?3于是limSn?lim??1?n??n??
n??3n??2??3?3?2339?limSn??? n??224?n9??n?1?
4n?13
2 裂项相消法求和法
主要适用于无穷级数的通项公式为分式且其分母是因式之积的形式的级数。它的关键是将级数的一般项分解成部分分式的形式。诸如：都可以用裂项相消法求和。 例 3 求无穷级数
2n?11，等等，??22n?n?1?n?1?n?1??n?2??n?3???n?n?1??n?2?的和.
n?1?1分析：观察到此无穷级数的通项公式为分式且其分母是因式之积的形式的级数，
?11?11????，然后再求和。
n?n?1??n?2?2?n?n?1??n?1??n?2???11?11???解 ：因为un??
n?n?1??n?2?2?n?n?1??n?1??n?2??
??? 1??11??11?11Sn????????????...?????2?1?22?32?33?4nn?1n?1n?2????????????????1?11? ???
2?1?2?n?1??n?2???11?11?所以limSn?lim??? n??n??21?2n?1n?2?????4??11即??
4n?1n?n?1??n?2?注意到
3
例 4 求无穷级数
1. ?n?1nn?1??n?1?n?分析：题目所给出的级数的通项是分母为根式之积的分式，我们可以考虑先将其分母有理化再
进行约分化简成可抵消的两项之差。
解：先对通项分母中的和式进行有理化，得
nn?1??n?1?n?n?1?n?nn?1?1?11? ?22n?n?1?nn?1nn?1??n?1?n?nn?1??n?1n????nn111??1所以Sn???1??1 ?n??? ?????n?1k?1?k?1kk?1??k?1?kk?1?k??从而
1?1 ?n?1nn?1??n?1?n?3 利用逐项求导与逐项求积分求和法
定理1
?6? 如果级数
??u(x)的各项u(x)在区间[a,b]上连续，且?u(x)在[a,b]上一致收敛
n??nnn?1n?1于s(x)，则级数
?u(x)在[a,b]上可以逐项积分，即
nn?1??xxs(x)dx??u1(x)dx??u2(x)dx?...??un(x)dx?...
xxxxxx其中a?x0?x?b,并且上式右端的级数在[a,b]上也一致连续。 定理2
'?7? 如果级数
?u(x)在区间[a,b]上收敛于和s(x)，它的各项u(x)都具有连续导数
nnun(x)，并且级数?un(x)在[a,b]上一致收敛，则级数?un(x)在[a,b]上也一致收敛，且可
'n?1n?1n?1??逐项求导，即
s'(x)?u1'(x)?u2'(x)?...?un'(x)?...
方法：利用逐项求导或逐项积分，将级数化为已知的展式求和。
234例 5 求级数x?4x?9x?16x?...???1?n?1n2xn?...的和.
分析：观察到如果先对原级数从0到x积分，然后再变形就可转化为泰勒展开式了，最后求和。 解：记G?x??x?4x?9x?16x?...???1?234n?1nx?...??anxn，其中an?n2。
2ni?1??n?1??1 a因为limn?1?limx??ax??n2n所以R?1，当x?1时，G?1??2?ni?1?2发散。
4
当x??1时，G??1?????1?i?1?nn2发散
即G?x?的收敛域为??1,1?，从而在其收敛域内逐项积分有x?1
x14916???G?x?dx?2x025 12131415?x?[1?]x?[2?]x?[3?]x?...2345 121332?x?[?x?x?x?...]?x?1?2x?3x?...?23
?x?ln?1?x??x3?x?x2?x3?...?'3?3x3?4x4?x5?...x
?x?ln?1?x??x?()'1?x x3?x?ln?1?x??2?1?x??x3?13x2?4x3?x4G?x???x?ln?1?x??'?1??2?4所以 . 1?x1?x1?x????????x2x3x4x5xnn例 6 计算无穷级数????...???1??...之和。?x?1?
2?13?24?35?4n?n?1?分析：该级数求和的困难之处在于有分母, 如果没有分母, 这就是一个等比级数, 其和马上可以写出。但此级数容易证明其收敛半径为1。因此,x?1内可以逐项微分任意多次。将级数逐项微分两次之后便消去了全部分母, 成为了即可得解。 解：由limx?????1?xn?0?nn。求出和再积分（从0积到x）两次,
n?n?1?an?lim?1则R?1 an?1x???n?1??n?2?n对于级数
???1?n?0?xn?1x?1?，两边从0积到x，得 ?1?x?nxn?1 ???1??ln?1?x??x?1?
n?1n?0两边再从0积到x，得
n?xn?2??1???n?1??n?2?n?0 ??ln?1?t?dt0x0x
?xln?1?x???tdln?1?t? 5