第5章 电场
习 题
5.1 试问两个都是1.0C的点电荷在真空中相距1.0m时的作用力是多少牛顿?是质量为100kg的物体所受重力的多少倍?
5.2 位于x轴上的两个点电荷，分别带电2q和q，相距l，第三个点电荷q0放在x轴上哪一位置时，它所受合力为零？在合力为零的位置上，这第三个点电荷处于哪一种平衡状态（稳定平衡、非稳定平衡还是随遇平衡）?若第一点电荷为2q，第二点电荷为-，情况又将如何?
5.3 一根不导电的细塑料杆，被弯成近乎完整的圆，圆的半径为0.5m，杆的两端有2cm的缝隙，3.12×10-9C的正电荷均匀地分布在杆上，求圆心处电场的大小和方向。
5.4 在点电荷Q的电场中有一电偶极子 (Pe＝ql)，偶极子中心与点电荷之间的距离r比偶极子的长度l大得多，如果偶极子的方位如下：
（1）垂直于电场线（图
a）； （2）与电场线重合（图b）。
求在这两种情况下偶极子受到的作用力与力矩。
5.5 一均匀带电直线，长为L，线电荷密度为λ。求直线的延长线上距L中点为r（r＞L/2）处的场强。
5.6 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，
四分之一圆弧半径为R，试求圆心O点的场强。
5.7 电荷Q均匀分布在半径为R的半圆周上，求曲率中心O处的电场强度。
5.8 两个平行无限大均匀带电平面，面电荷密度分别为σ1＝4×10-11C／m2和σ2=-2×10-11C／m2。求此系统的电场分布。
5.9 应用高斯定理求场强时，高斯面应如何选取?
5.10 实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，E垂直于地面向下，大小约为100N/C；在离地面1.5km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25N/C。
（1）试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度。
（2）如果地球上的电荷全部分布在表面，求地面上的电荷面密度。
5.11 半径为R的无穷长直圆筒面上均匀带电，沿轴线单位长度的电量为λ。求场强分布，并画E-r曲线。
5.12 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为R1和R2，筒面上都均匀带电。沿轴线单位长度的电量分别为λ1和λ2。(1)求各区域内的场强分布；（2）若λλ如何?画出此情形的E-r曲线。
5.13 气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示：
r[1?()2]2a
式中r到轴线的距离，ρ0是轴线上的ρe值，a是个常数（它是ρe减少到ρ0／4处的半径）。
求等离子体圆柱内的场强分布。
5.14 在半导体p-n结附近总是堆积着正、负电荷，在n区内有正电荷，p区内有负电荷，两区电荷的代数和为零。我们把p-n结看成是一对带正、负电荷的无限大平板，它们相互接触(见附图)。取坐标x的原点在p、n区的交界面上，n区的范围是-xn?x?0，p区的范围是0?x?xp。设两区内电荷体分布都是均匀的
?n区:?e(x)?NDe,??p区:?e(x)??NAe（突变结模型）
这里ND、NA是常数，且NAxp＝NDxn（两区电荷数量相等）。试证明p-n电场的分布为
NDe?n区:E(x)?(xn?x)???0??p区:E(x)?NAe(x?x)p??0?
并画出?e（x）和E（x）随x变化的曲线来。
5.15 求一无限大均匀带电厚壁的电场E和电势U的分布。壁厚为D，体电荷密度为ρ，画出E～x曲线，x为垂直于壁面的坐标，原点在厚壁的中点。
5.16 一均匀带电球体，半径为R，体电荷密度为ρ，今在球内挖去一半径为r0（r0 5.17 一细直杆沿z轴由z＝-a延伸到z＝a，杆上均匀带电，其线电荷密度为λ，试计算x轴上x＞0各点的电势，并由电势梯度求场强。 5.18 半径为R1和R2的两无限长共轴圆筒，内筒带正电荷，外筒带负电荷，线密度都为λ。 （1）求内、外两筒间的电势差； （2）若外筒接地，内筒的电势为多少? ?e(r)??05.19 如图示电场强度分量为 Ex?bx1/2，Ey?Ez?0，其中b=800N／C。试求： （1）通过正立方体的电通量； （2）正立方体的总电荷是多少?设a=10cm。 5.20 在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电势差约为十亿伏，通过的电量约为30Ｃ。问一次闪电消耗的能量是多少?如果用这些能量来烧水，能把多少水从0℃加热到100℃? 6 5.21 已知空气的击穿场强为2×10Ｖ/m，测得某次闪电的火花长100m，求发生这次闪 电时两端的电势差。 5.22 电量q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)。 5.23 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为σ。试求过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势（选O点的电势为零）。 5.24 求5.13题中无限长等离子柱的电势分布（以轴线为零电势）。 5.25 如附图所示，一对均匀带等量异号的平行平面。若其间距离d远小于带电平面的线度时，这对带电面可看成是无限大 的。这样的模型可叫做电偶极层。求场强和电势沿垂直两平面的x方向的分布，并画出E-x和U-x曲线(取离两平面等距的O点为参考点，令该处电势为零)。 5.26 一电子二极管由半径r=0.50mm的圆柱形阴极K，和套在阴极外同轴圆筒形的阳极A构成，阳极的半径R=0.45cm。阳极电位比阴极高300Ｖ。设电从阴极发射出来时速度很小，可忽略不计。求： （1）电子从K向A走过2.0mm时的速度； （2）电子到达A时的速度。 5.27 设电势沿x轴的变化曲线如 图所示。试对所示各区间（忽略区间端点的情况），确定电场强度的x分量，并作Ex对x关系曲线。 5.28 两根无限长的均匀带电直线相互平行，相距为2a，线电荷密度分别为+λ和-λ，求每单位长度的带电直线受的作用力。 5.29 如图所示，设有一偶极子位于均匀电场E中，已知偶极子的电矩为Pe，绕其中心轴（此轴 通过偶极子的中心并与电矩垂直）的转动惯量为I，现使偶极子稍离平衡 位置后，在所受电场力的作用下作振动，证明：（1）偶极子的运动为简谐振动；（2）振动频率为 1PeE2?I 5.30 带电粒子经过加速电压加速后，速度增大。已知电子 -31 质量m0=9.11×10kg，电荷绝对值e＝1.60×10-19C。 （1）设电子质量与速度无关，把静止电子加速到光速c＝38 ×10m/s要多高的电压ΔU? （2）对于高速运动的物体来说，上面的算法不正确，因为根据相对论，物体的动能不1m0v2是2，而是 v?vc2 按照这公式，静止电子经过上述电压ΔU加速后，速度v是多少?它是光速c的百分之几? （3）按照相对论，要把带电粒子从静止加速到光速c，需要多高的电压?这可能吗? 5.31 两个平行同向放置的电偶极子，相距为d，电偶极矩均为P=dl（l< 1?m0c2(12?1)P2W?4??0d3。 处为电势零点，试求证两电偶极子间的相互作用势能为 5.32 通常情况下中性氢原子的行为从某些方面看来，好象是一个这样的电荷分布：一 个大小为+e的电荷被密度为?(r)??Ce的负电荷所包围，a0是“玻尔半径”，a0=0.53 -10 ×10m，C是为了使电荷总量等于-e所需要的常量，试问在半径为a0的球内净电荷是多少?距核a0远处的电场强度多大? 5.33 氢原子由原子核(核中有一个质子)和一个电子组成。根据玻尔假设，电子绕核做圆周运动，它的角动量L只能是??1.054?10?34?2r/a0J?s的整数倍，即 L?mr2??n?,n?1,2,3?? 式中m是电子质量，r是圆的半径，ω是电子圆周运动的角速度。已知质子带正电，电子带负电，它们的电量都是1.602×10-19Ｃ，电子质量为9.11×10-31kg，求n=1（基态）的电子的轨道半径(通常叫做玻尔半径)。 5.34 在氢原子中，正常状态下电子到质子的距离为5.29×1011m，已知氢原子核（质子）和电子带电各为±e（e=1.60×10-19C）。把氢原子中的电子从正常状态下离核的距离拉开到无穷远处所需的能量，叫做氢原子的电离能。求此电离能是多少电子伏和多少焦耳? 5.35 轻原子核(如氢及其同位素氘、氚的原子核)结合成为较重原子核的过程，叫做核聚变。核聚变过程可以释放出大量能量。例如，四个氢原子核（质子）结合成一个氦原子核(α粒子)时，可释放出28MeV的能量。这类核聚变就是太阳发光、发热的能量来源。如果我们能在地球上实现核聚变，就可以得到非常丰富的能源。实现核聚变的困难在于原子核都带正电，互相排斥，在一般情况下不能互相靠近而发生结合。只有在温度非常高时，热运动的速度非常大，才能冲破库仑排斥力的壁垒，碰到一起发生结合，这叫做热核反应。根据统计物理学，绝对温度为T时，粒子的平均平动能为 _________式中k=1.38×10-23J/K，叫做玻耳兹曼常数。已知质子质量是m=1.67×10-27kg，电荷e=1.6×10-19C，半径约为1×10-15m。试计算： （1）一个质子以怎样的动能（以电子伏eV表示)才能从很远的地方达到与另一个质子接触的距离? （2）平均热运动动能达到此数值时，温度（以开表示）需为多少? 5.36 一个动能为1.7×10-12Ｊ的α粒子射向铂原子核，问其最接近的距离多大?α粒子的电荷为2e，铂原子核的电荷为78e。将铂原子核视作球形电荷分布，并且不考虑铂原子核的运动。 123mv?kT22 部分习题答案 5.1 F＝9×109N F／P=9×106倍 5.2 在q与2q的连线上距q(2?1)l的位置上，q0受到的合力为零，是稳定平衡状态； 在-q的右外侧(2?1)l处，q0受到的合力为零。 5.3 0.72V/m，指向缝隙。 qlQM?PE?ee34??0r2 5.4 （１）F?QPe/(4??0r)， 3 （2） F?QPe/(2??0r) Me=0 14??0L2(r?)4，沿带电直线指向远方。 5.5 ??5.6 E4??0R（i+j） Q?225.7 E2??0Ri 2??L5.8 σ1板外：1.13V/m，指离σ1板； 两板间：3.39V/m，指向σ2板； σ2板外：1.13V/m，指向σ2板。 5.10 (1) 4.45×10-13C/m3 （２）-8.85×10-10C/m3 (r?R)?E?0???E?(r?R)?2??r05.11 ? ??(r?R1)?0??0(r?R1)??E??1(R1?r?R2)????2??0rE??1(R1?r?R2)??1??22??r0?(r?R2)??0?(r?R2)?2??0r?5.12 (1) (2) a2?0rE?2?0(a2?r2) 5.13 ?DE?xx??02 5.15 ?DE?Dx?2?02 ?a5.16 3?0，a为从带电体中心到空腔中心的矢量线段。 ?a2?x2?aU?ln()224??a?x?a 05.17 R?U2?U1?ln12??0R2; 5.18 (1) (2)若外筒接地，U1?0， 5.19 （１）1.04Ｎ·m2／Ｃ （２）9.29×10-12Ｃ 5.20 3.0×1010J，加热水7.2×104kg。 5.21 2×108Ｖ q2lup?ln(1?)8??0la 5.22 U2?R?ln12??0R2 u?5.23 ?(R?R2?x2)2?0 a2?0au?ln2?0a2?r2 5.24 ??edd?(x??)?2?20??dd??xu??e(??x?)22??0??edd(x?)??2?2?05.25 6 5.26 (1)7.3×10m/s (2)1.03×107m/s 5.27 ab:-6.0V/cm; bc：０； ce:3.0V/cm df: 6.0V/cm; fg:0； gh: -2.4V/cm 5.28 ?/(4??0a) 5.30 （１）2.56×105Ｖ （２）2.24×108m/s, 74.5% （３）不可能 2P2W?4??0d3 5.31 5.32 1.08×10-19Ｃ 3.47×1011V/m 5.33 r=5.29×10-11m 5.34 27.2eV 4.36×10-18J 5.35 （１）106eV (2)1010K 5.36 2.1×10-14m