衡阳市第三次联考理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13．60； 14．-1 B 2 B 3 C 4 A 5 D 6 C 7 D 8 C 9 A 10 D 11 C 12 A 6； 15．-4； 16．0?x?2． 5三、解答题
17、（）证明：当1n?2时,bn?bn?1?an?an?111??2?an2?an?14?2an?2an?1?anan?11an?1an?4an?1?4?0?bn?bn?1??,??bn?是等差数列。21nbn?b1?(n?1)(?)??---------------(6分）22211(2)an??2?cn?n(2n?4),n?N?,根据单调性可知：?1?cn?.n2411令y?cn?t?2t2,是关于cn的一次函数，单调递增，?当cn=时，241111y?0即可，??t?2t2?0?t??或t?---------------（12分）424218、解：（1）
计算可得：x?5，y?1.072，??xi?x??10，
i?152??0.64?0.064，a??1.072?0.064?5?0.752， ??y??bx所以b10??0.06x?0.75. 所以从3月份至6月份y关于x的回归方程为y将
2018
年
的
12
月
份
x?12代入回归方程得：
??0.06x?0.75?0.06?12?0.75?1.47， y所以预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米.-----6分
（2）根据题意，X的可能取值为1,2,3
3C4?332741， ?P?X?1??3?，P?X?3??3C1255C1255
P?X?2??1?P?X?1??P?X?3??所以X的分布列为
27， 55
因此，X的数学期望E?X??1?
12727136?2??3??.---------12分 5555555519、解： (1)证明:因为底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形,所以BC⊥CD, BC⊥CC1, 又因为CD∩CC1=C,所以BC⊥平面DCC1D1, 因为D1E?平面DCC1D1,所以BC⊥D1E.------5分 (2)由(1)可知BC⊥D1E,又因为D1E⊥CD,且BC∩CD=C, 所以D1E⊥平面ABCD.
设G为AB的中点,以E为原点,EG,EC,ED1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.则E(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),G(1,0,0).
设D1E=a,则D1(0,0,a),B1(1,2,a).设平面BED1的一个法向量为n=(x,y,z), 因为EB=(1,1,0),ED1=(0,0,a),令x=1,得n=(1,-1,0). 设平面BCC1B1的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 因为CB=(1,0,0),BC1=(-1,1,a),令z1=1,得m=(0,-a,1). 由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为得|cos
?, 3?,解得a=1.所以D1E=1.-------------12分 320、解：（Ⅰ）连接DF2,FO(O为原点,F2为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为F2(5,0)
因为FO是?DF1F2的中位线，且DF1?FO,所以DF2?2FO?2b 所以DF1?2a?DF2?2a?2b，故FF1?在Rt?FOF1中，FO21DF1?a?b 2?FF12?F1O
2
即b2?(a?b)2?c2?5,又b2?5?a2,解得a2?9,b2?4
x2y2??1．---------6分 所求椭圆E的方程为94x2?y2?1 (Ⅱ)法一：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为2根据题意可设P(m,n)，则A(?m,?n),C(m,0)
n(x?m)…① 2mm过点P且与AP垂直的直线方程为y?n??(x?m)…②
n则直线AC的方程为y?n?x2m22?y??n2 ①?②并整理得：22m2?n2?1 又P在椭圆W上，所以2x2?y2?1 所以2即①、②两直线的交点B在椭圆W上,所以PA?PB．---------12分
x2?y2?1 法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为2根据题意可设P(m,n)，则A(?m,?n),C(m,0)，?kPA?所以直线AC:y?nn，kAC?
2mmn(x?m) 2mn?y?(x?m)?n22n2n2?2m)x?x??2?0 ，化简得(1??222mm2x??y2?1??22mn2所以xA?xB?
2m2?n22m3?3mn2nnn3xB??因为xA??m,所以xB?,则yB? 22222m?n2m22m?nn3?n22m2m?n所以kPB?，则kPA?kPB??1,即PA?PB--------12分 ??2m3?3mn2n?m222m?n
a2?212ax(x?)a12a221、解：f?(x)??2x?a?,(x??)
111?axa?ax22a2?211（Ⅰ）由已知，得f?()?0即?，
22a2?a2?a?2?0,a?0,?a?2.经检验，a?2满足条件.-----3分
（Ⅱ）当0?a?2时，
a2?21a2?a?2(a?2)(a?1)????0, 2a22a2aa2?21a2?212ax??,?当x?时，x??0.又?0，?f?(x)?0,
21?ax2a22a?1故f(x)在?,??)上是增函数-------------6分
?2111（Ⅲ）当a?(1,2)时，由（Ⅱ）知，f(x)在[,1]上的最大值为f(1)?ln(?a)?1?a,
22211于是问题等价于：对任意的a?(1,2)，不等式ln(?a)?1?a?m(a2?1)?0恒成立.
2211记g(a)?ln(?a)?1?a?m(a2?1),(1?a?2)
22则
g?(a)?1a?1?2ma?[2ma?(1?2m)],1?a1?am2?当m?0时，有
2m?a(?1a)m，且?a?0,?g(??a)在区间（1，2）上递减，且g(1)?0，则
1?am?0不可能使g(a)?0恒成立，故必有m?0.
当m?0，且g?(a)?2ma1[a?(?1)]. 1?a2m若
11?1?1，可知g(a)在区间D?(1,min{2,?1})上递减，在此区间D上有2m2m1?1?1，这时g?(a)?0，即g(a)在（1，2）2mg(a)?g(1)?，与0g(a)?0恒成立矛盾，故
上递增，恒有g(a)?g(1)?0满足题设要求.
?m?01?，即m?， ??14?1?1??2m1所以，实数m的取值范围为[,??).----------12分
422、解： (1)将直线l的极坐标方程?sin(???4)?2，化为直角坐标方程:x+y-1=0. 2将圆C的参数方程化为普通方程:x2+(y+2)2=4,圆心为C(0,-2),半径r=2.
∴圆心C到直线l的距离为d=
32>r=2, 2∴直线l与圆C相离.(5分)
x2y2??1, (2)将椭圆的参数方程化为普通方程为43∵直线l:x+y-1=0的斜率为k1=-1, ∴直线l'的斜率为k2=1,即倾斜角为
?, 4?x?tcos?4则直线l'的参数方程为??(t为参数), y??2?tsin?4?2x?t??2即? (t为参数), ?y??2?2t??2?2x?t?x2y2?2??1, 把直线l'的参数方程?代入
43?y??2?2t??2整理得7t2-162t+8=0.(*) 由于Δ=(-162)2-4×7×8>0,
故可设t1,t2是方程(*)的两个不等实根,则有t1t2=
8162,t1?t2? 77|AB｜＝?t1?t2?2?4t1t2?122.(10分) 7
23解：（Ⅰ）由2x?a?a?6得2x?a?6?a，∴a?6?2x?a?6?a，即a?3?x?3， ∴a?3??2，∴a?1. ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f?x??2x?1?1,令??n??f?n??f??n?，
1?2?4n, n???2?11?则，??n??2n?1?2n?1?2??4, ??n?
22?1?2?4n, n??2?∴??n?的最小值为4，故实数m的取值范围是?4,???.……………10分