·86 · 理论力学 第8章 刚体平面运动概述和运动分解
一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)
1．平面图形的角速度与图形绕基点转动的角速度始终相等。 ( √ ) 2．刚体平面运动可视为随同基点的平动和绕基点转动的合成运动。 ( √ ) ( × )
4．在某一瞬时平面图形上各点的速度大小都相等，方向都相同，则此平面图形一定作平动，因此各点的加速度也相等。 ( × )
5．车轮沿直线轨道滚而不滑，某瞬时车轮与轨道的接触点为车轮的速度瞬心，其速度为零，故速度瞬心的加速度亦为零。 ( × )
6．当??0时，平面图形上两点的加速度在此两点连线上的投影相等。 ( √ ) ( √ ) 二、填空题
1．刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，这种运动称为刚体的 平面运动。刚体的平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动。
2．平面图形的运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。平动为牵连运动，它与基点的选择有关；转动为相对运动，它与基点的选择无关。
3．通常把平面运动的角速度和角加速度直接称为刚体的角速度和角加速度，而无须指明它们是对哪个基点而言。
4．平面图形上各点的加速度的方向都指向同一点，则此瞬时平面图形的角加速度等于零。 5．相对某固定平面作平面运动的刚体，则刚体上与此固定平面垂直的直线都作平动。 三、选择题
1．正方平面图形在其自身平面内作平面运动。已知四点A、B、C、D的速度大小相等，方向如图8.23(a)、(b)图所示，问下列结论哪个正确。( D )
(A) (a)、(b)图的运动都是可能的 (B) (a)、(b)图的运动都是不可能的 (C) 只有(a)图的运动是可能的
A 3．平面图形上如已知某瞬时两点的速度为零，则此平面图形的瞬时角速度和瞬时角加速度一定为零。
7．平面图形在其平面内运动，某瞬时其上有两点的加速度矢相同，其上各点速度在该瞬时一定相等。
(D) 只有 (b)图的运动是可能的
vD vD A D D vA vC B vA vC B C vB (a) C vB (b)
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第8章 刚体平面运动的概述和运动分解 图8.23
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2．如图8.24所示圆盘在水平面上无滑动地滚动，角速度?为常数，轮心点A的加速度为( A )，轮边点B的加速度为( B )，轮与地面接触点C的加速度为( B )。
(A) 0 (B)
?2r (C) 2?2r (D) 4?2r
B A C ?
图8.24
3．如图8.25所示，哪个动点在做加速运动？( B )
M v M M v v a a (A) (B) 图8.25
a (C)
4．如图8.26所示平面图形上两点A、B的加速度大小相等，方向相同，但不共线。试问此瞬时平面图形的角速度和角加速度哪一个为零？( D )
(A) ??0， ??0 (B) ??0， ??0 (C) ??0， ??0 (D) ??0， ??0
5．杆AB做平面运动，图示瞬时两点A，B速度vA，vB的大小，方向均为已知，C、D两点分别是vA，
vB的矢端，如图8.27所示。则杆AB上各点的速度矢的端点是否都在直线CD上？( C )
(A) 全部都在直线CD上 (B) 只有部分在直线CD上 (C) 全部都不在直线CD上 (D) 无法确定
A aA B C aB vA A B D vB
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·88 · 理论力学 图8.26 图8.27
6．四连杆机构中已知基点A的加速度aA，杆AB角速度?和角加速度?，欲求点B的加速度，画出加速度矢量图如图8.28所示。将基点法求加速度的公式投影于x，y轴，则有( C )。
(A) -aBA?aBcos??0 ，aBA?aA?aBsin??0 (B) -aBA?aBcos? ，aBA?aA?aBsin??0 (C) -aBA?aBcos? ，aBA?aA??aBsin? (D) -aBA?aBcos??0 ，aBA?aA?aBsin?
A n?n?n?n?? ? n aBAy ?aBA aA B ? aA O x aB O1
图8.28
7．如图8.29所示机构中做平面运动的构件在图示位置的速度瞬心是( C )。
(A) 点O
(B) 点A
(C) 点B
(D) 无穷远点
O ? B A 图8.29
8．一刚体做瞬时平动，此瞬时该刚体上各点( B )。
(A) 速度和加速度均相同 (C) 速度和加速度都不相同
四、计算题
8-1 如图8.30所示的两齿条以v1和v2同方向运动。在两齿条间夹一齿轮，其半径为r，求齿轮的角速度及其中心O的速度。
解：齿轮作平面运动，以B为基点，分析所示。由图可知
vAB?vA?vB?v1?v2 齿轮的角速度为
(B) 速度相同而加速度不相同 (D) 速度不同和加速度可能相同
A点的速度。由vA?vB?vAB作A点的速度合成图如图
vABv1?v2 ?AB2r再以B为基点，分析O点的速度。由vO?vB?vOB作O点的速度合成图如图所示。由图可知齿轮中心
?O?O的速度
vO?vB?vOB?v2??Or?·88·
v1?v2 2 第8章 刚体平面运动的概述和运动分解 ·89·
8-2 曲柄OA = 17cm，绕定轴O转动的角速度?OA?1rad/s，已知AB = 12cm，BD = 44cm，BC = 15cm，滑块C、D分别沿着铅垂与水平滑道运动，如图8.31所示瞬时OA铅垂，求滑块C与D的速度。
vB A v v AB1vA B ? vB vA vC C vB vOB vO O A D ?O ?OA O B v2 vD
图8.30 图8.31
解：由vA和vD的速度方向，可知杆BD作瞬时平动。从而可知vB方向水平向左。C点的速度方向垂直向下。BD作瞬时平动，可知滑块D的速度为
vD?vA??OA?OA?1?17?17(cm/s) 杆BC作平面运动，上速度投影定理，有
vBcos??vCcos(90??) 根据图示的结构，经过数学计算，可知cos??o715?0.6778，sin??0.7352，代入上式，可得 40 vC?vBcos?vAcos???15.6(cm/s)
sin?sin?8-3 曲柄OA绕定轴O转动的角速度?OA?2.5rad/s，OA = 28cm，AB = 75cm，BC = 15cm，r = 10cm，轮子沿水平面滚动而不滑动。求图8.32所示瞬时轮子上点C的速度。
解：图示结构中杆AB和轮子作平面运动。A、B和C点的速度方向如图所示。首先由A点速度计算B点的速度。杆AB作平面运动，由速度投影定理，有 vAcos??vBcos? 根据?OAB，有解得
ABsin120o?OAoooo，解得??18.86，??90?(60??)?48.86。代入上式，sin?vAcos??OA?OAcos?2.5?28cos48.86o???48.67cm/s vB?ocos?cos?cos18.86轮子沿水平面滚动而不滑动，故P点为其速度瞬心，轮子上点C的速度为
vB??B?PC?vB48.67?PC??102?152?87.7cm/s r108-4 在瓦特行星传动机构中，平衡杆O1A绕O1轴转动，并借连杆AB带动曲柄OB，而曲柄OB活动地装置在O轴上，如图8.33所示。在O轴上装有齿轮I，齿轮II的轴安装在连杆AB的另一端。已知：
r1?r2?303cm，O1A?75cm，AB?150cm，杆O1A的角速度?O1?6rad/s。求当??60?、
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·90 · 理论力学 ??90?时，OB和齿轮I的角速度。
? A A ? ?OA 60o O vA vC vA O1 ?O1 ? vB r B C r2 B II ? vB C O r1 P P vC I
8.32 图8.33
解：图示结构中连杆AB作平面运动。由vA和vB的速度方向可知连杆AB的速度瞬心为点P。由于齿轮II和连杆A固接，可知齿轮II上C点的速度为vC，如图所示。连杆AB的角速度为
?ABvA?O1?O1A6?75????1.5rad/s PAPA300连杆AB端点B和齿轮II上C点的速度分别为
vB??AB?PB?1.5?1503?2253(cm/s)
vC??AB?PC?1.5?(1503?303)?1803(cm/s) OB和齿轮I的角速度分别为
?OB?vB2253??3.75(rad/s) OB603vC1803??6(rad/s) OC303?I?8-5 图8.34所示曲柄OA以角速度?= 6rad/s转动，带动平板ABC和摇杆BD，已知：
OA = 100mm，AC = 150mm，BC = 450mm，BD = 400mm，∠ACB = 90?。设某瞬时OA⊥AC，OA⊥BD，求此时点A、B、C的速度以及平板ABC和摇杆BD的角速度。 解：平板ABC作平动，由vA和vB方向可知P点为 为平板ABC的速度瞬心。A点速度vA为
vA???OA?6?100?600(mm/s) 平板ABC的角速度为
D vA ?ABCv??OA6?1004?A???rad/s PAPA45034?150?200(mm/s) 3O ? A ?ABC C 图8.34
P B点速度vB为
vB??ABC?PB?C点速度vC为
vC??ABC?PC?摇杆BD的角速度为
vB B 4?1502?4502?20010(mm/s) 3·90·