二次函数的应用专题
知识归纳
二次函数的概念及解析式
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1．一般地，形如y＝ax＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的2、2函数，叫做二次函数． 2、二次函数解析式的三种形式
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(1)一般式：y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
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(2)顶点式：y＝a(x－h)＋k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点 坐标是(h，k)．
(3)交点式：y＝a(x－x)(x－x)，其中x，x是二次函数与
1
2
1
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x轴的交点的横坐标，a≠0.
抛物线的平移
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1．将抛物线解析式化成顶点式y＝a(x－h)＋k，顶点坐标为(h，k)．
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2．保持y＝ax的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，
二次函数与一元二次方程的关系
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1．二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)．
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2．ax＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标．
方法归纳
一、当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式来求其解析式，此时只需根据另外的条件求出，，然后回代，并把它化为一般式即可. 此外，应注意这种情况的变式，即在题设条件中，若涉及对称轴或对称轴易于求出时，也可选用顶点式来求其解析式. 二、当
时，在对称轴的左侧，
随的增大而减小，在对称轴的右侧，
随
随的增大而增大;当
时，在
对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，的增大而减小.求二次函数图象的对称轴、顶点坐
(
为常数
)配方，转化为顶点式求
标、最值，判定其增减性时，常将二次函数的一般式
解.也可以利用顶点坐标公式例题精讲
来求解.必须注意:在对称轴的两侧，二次函数的增减性完全相反.
例1、如图，二次函数y?ax?bx?c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（
21，1），下列结论：①abc＞0；2②a=b；③a=4c﹣4；④方程ax2?bx?c?1有两个相等的实数根，其中正确的结论是．（只填序号即可）．
故答案为：③④．
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例2、已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是_____________． 答案为(1，4)
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例3、已知点A(4，y)，B( ，y)，C(－2，y)都在二次函数y＝(x－2)－1的图象上，则y，y，y的大小关系
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2
3
1
2
3
是．
答案为y>y>y.
3
1
2
2
例4、已知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①ac>0；②2a＋b>0；③y随x的增大而增大；④a－b＋c<0，其中正确的个数有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：由二次函数的图象可知a<0，c>0，ac<0，故①错误；∵0<－<1，∴2a＋b<0，故②错误；在对称轴左边y随x的增大而增大，在对称轴右边y随x的增大而减小，故③错误；当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，故④正确，故选D. 专题练习 1. 抛物线
(
是常数)的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：A
2
422. 如图，直线y＝－ x＋c与x轴交于(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－ x＋bx＋c经过点A，B.求
33点B的坐标和抛物线的解析式；
∵直线y＝－
4 x＋c过点A(3，0)， 3∴－
4×3＋c＝0，解得c＝2，[来源:学科网] 34 x＋2， 3∴直线AB的解析式为y＝－∴B(0，2)．
∵抛物线过点A(3，0)，B(0，2)，
3. 将抛物线y?2x向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A.y?2(x?3)?5 B．y?2(x?3)?5 C．y?2(x?3)?5 D．y?2(x?3)?5 答案：A
4. 对于二次函数 A.对称轴是直线 B.对称轴是直线 C.对称轴是直线 D.对称轴是直线解析：2.故选B. 5. 对于二次函数
，下列说法正确的是( )[来源:Z.xx.k.Com] 的图象与性质，下列说法正确的是( )
，最小值是2 ，最大值是2 ，最小值是2 ，最大值是2 ，
抛物线开口向下，顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线
当
时，
有最大值
22222 A.当 B.当
时，时，
随的增大而增大 有最大值-3
C.图象的顶点坐标为(-2, -7)
D.图象与轴有两个交点
解析：二次函数，
，顶点坐标为(2,-3).显然选项C错误.
其对称轴为直线
,
抛物线开口向下，顶点为最高点，当由抛物线开口向下，对称轴为直线
时，可知，当
有最大值-3.故选项B正确. 时，
随的增大而减小.故选项A错误.
由抛物线开口向下，顶点坐标为(2,-3),可知函数图象在轴的下方，所以二次函数的图象与轴没有交点.故选项D
错误.故选B.
6. 某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，
提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是元/时，才能在半月内获得最大利润．
解析：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：y=（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]=（x﹣20）（1000﹣20x）=﹣20x2+1400x﹣20000 =﹣20（x﹣35）2+4500，∵﹣20＜0，∴x=35时，y有最大值，故答案为：35．学科&网
7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y?ax?bx?c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且
OA=2，OB=8，OC=6．求抛物线的解析式；
2?4a?2b?c?0?解析：（1）∵OA=2，OB=8，OC=6，∴根据函数图象得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，6），根据题意得：?64a?8b?c?0，
?c?6?3?a???8?939?解得：?b?，∴抛物线的解析式为y??x2?x?6；
484??c?6??8. 如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当
点C的坐标为（0，3）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式；
（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；
（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
解析：（1）抛物线的函数解析式为y??（2）DG=DE．理由如下：
设直线l1的解析式为y=k1x+b1，将A（1，0），C（0，3）代入，解得y??3x?3； 设直线l2的解析式为y=k2x+b2，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，解得y?3223x?x?3； 333x?3； 3∵抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（﹣3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，又∵点G、D、E均在对称轴上，∴G（﹣1，23），D（﹣1，∴DG=DE；
（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况：
①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1、C，点M1与C关于抛物线的对称轴对称，则M1的坐标为（﹣2，
43234323432323），E（﹣1，），∴DG=23﹣=，DE=﹣=，33333333）；
②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3，点M2与点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M3与M1重合；
③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5，点M4与点D重合，点D的坐标为（﹣1，重合；
综上所述，满足条件的点M只有两个，其坐标分别为（﹣2，3），（﹣1，43），M5与M1343）． 3
9. 如图，已知抛物线y?ax?bx?c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．
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