习题1.4
5.求下列函数的极限，其中z?0. （1）f1(z)?zRe(z)/|z| 解：因为
zRe(z)lim|f1(z)|?lim||?lim|Re(z)|?0 z?0z?0z?0|z|所以由教材1.4节的定理1知
limf1(z)?0.
z?0 另解：设z?x?iy(x,y?R)，则
zRe(z)(x?iy)xf1(z)???22|z|x?y因为
x222x?y?ixyx?y
220?x222x?y|xy|??22x?y?|x|, 0?xyx?y22|xy|?x?y|xy|222?|x|,2x?y
所以由夹边法则得
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limx?0y?0x222x?y?0, limx?0y?0|xy|x?y22?0,limx?0y?0xyx?y22?0所以
limf1(z)?limz?0x?0y?0x222x?y?ilimx?0y?0xyx?y22?0?0?0
注1：极限存在是对趋向于极限点的任意路径极限都存在，不能仅对特殊路径证明，所以不能设
y?kx?0来证明极限存在！
注2：设z?r(cos??isin?)，则
zrcos?limf1(z)?lim?limzcos??0? z?0z?0z?0r此处?与z有关，不能直接得到极限，需要进一步
将z?r(cos??isin?)带入再求极限.
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（2）f2(z)?Re(z)/|z|
解：设z?x?iy(x,y?R)，当z沿任意射线
y?kx(x?0)趋向零时有z?x?ikx?0，这时有
Re(z)f2(z)??|z|xx?(kx)22?11?k2?11?k2极限与k有关，即与路径有关，所以当z?0时，
f2(z)?Re(z)/|z|的极限不存在.
另解：设z?r(cos??isin?)(r,??R)，当z沿任意射线???0趋向零时有z?r(cos?0?isin?0)?0即r?0，这时有
Re(z)rcos?0f2(z)???cos?0?cos?0 |z|r极限与?0有关，即与路径有关，所以当z?0时，
f2(z)?Re(z)/|z|的极限不存在.
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（3）f3(z)?Re(z)/(1?z) 解：
Re(z)limf3(z)?limz?0z?01?zlimRe(z)z?0 ?lim(1?z)z?0 0 ??01
6.设f(z)在点z0连续且f(z0)?0，试证明存在z0的一个邻域使在该邻域内恒有f(z)?0.
证明：因为f(z)在点z0连续，由连续定义知
???0,??(?)?0,当|z?z0|??时，有
|f(z)?f(z0)|??.
因为f(z0)?0，可取??|f(z0)|?0,则存在
?0??(|f(z0)|)?0,对于z0的邻域{z:|z?z0|??0}中任意一点z，有|f(z)?f(z0)|?|f(z0)|.由于
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||f(z)|?|f(z0)||?|f(z)?f(z0)|，则对于上述邻域
中的z，有
||f(z)|?|f(z0)||?|f(z0)| ??|f(z0)|?|f(z)|?|f(z0)|?|f(z0)| ?0?|f(z)|?2|f(z0)|这表明存在z0的邻域，使在该邻域内|f(z)|恒正，即在该邻域内恒有f(z)?0.
注：复数不能比较大小，所以出现
z?0,z?z0,f(z)?f(z0)??,f(z)?f(z0)???等
等是极其错误的.
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