6-10 观察者甲以 0.8c的速度（c为真空中光速）相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一质量为1 kg的物体，则甲测得此物体的总能量为 ；乙测得此物体的总能量为 ．
6-11 一个电子以0.99 c的速率运动，电子的静止质量为9.11310-31 kg，则电子的总能量是 J，电子的经典力学的动能与相对论动能之比是 ．
6-12 一匀质矩形薄板，在它静止时测得其长为a，宽为b，质量为m0．由此可算出其面积密度为m0 /ab．假定该薄板沿长度方向以接近光速的速度v作匀速直线运动，此时再测算该矩形薄板的面积密度则为 (A)
m01?(v/c)ab2 (B)
m0ab1?(v/c)2 (C)
m0ab[1?(v/c)]2 (D)
m0ab[1?(v/c)]23/2
6-13 一体积为V0，质量为m0的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A以速度v运动．观察者A测得其密度是多少？为什么 6-14 质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的4倍时，其质量为静止质量的 (A) 4倍． (B) 5倍． (C) 6倍． (D) 8倍．
第六章 狭义相对论
练习题答案
6-1 B 6-2答：设?+子相对于实验室的速度为v ?+子的固有寿命?0 =2.2310-6 s ，?+子相对实验室作匀速运动时的寿命?0
=1.63310-5 s按时间膨胀公式：???0/1?(v/c)2?移项整理得： v?(c/?)?2??0?c1?(?0/?) = 0.99c
22则??+子相对于实验室的速度是真空中光速的0.99倍．6-3 x/v (?x/v)1?(v/c)2
6-4答：没对准． 根据相对论同时性，如题所述在K＇系中同时发生，但不同地点(x＇坐标不同)的两事件(即A＇处的钟和B＇处的钟有相同示数)，在K系中观测并不同时；因此，在K系中某一时刻同时观测，这两个钟的示数必不相同． 6-5
A 6-6 相对的 运动6-7 答：在太阳参照系中测量地球的半径在它绕太阳公转的方向缩短得最多．
12R0v2 R?R01?(v/c)2 其缩短的尺寸为： ?R = R0- R ?R0(1?1?(v/c)2) ?/c ?R =3.2 cm
26-8 A 6-9 C 6-10 931016 J 1.531017 J 6-11 5.8310-13? 8.04310-2 6-12 C 6-13 答：设立方体的长、宽、高分别以x0，y0，z0表示，观察者A测得立方体的长、宽、高分别为 x?x01?vc22vc22，y?y0，
z?z0． 相应体积为 V?xyz?V01? ∵质量 m?m01?vc22 故相应密度为
m0/1?vc2222??m/V?V01?vc?m0V0(1?vc22 6-14 B )第七章 振动
【例题】
例7-1 弹簧上端固定，下系一质量为m1的物体，稳定后在m1下边又系一质量为m2的物体，于是弹簧又伸长了?x．若将
m2移去，并令其振动，则振动周期为(A) T?2?m2?xm1g ． (B) T?2?m1?xm2g．
(C) T?12?m1?xm2g． (D) T?2?m2?x(m1?m2)g．
x (cm) t (s) O 1 2 例7-2 已知一简谐振动曲线如图所示，由图确定振子：在 s时速度为零．在 s时动能最大．
例7-3 在竖直面内半径为R的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处．然后轻碰一下此物体，使其沿
O 圆弧形轨道来回作小幅度运动．此物体的运动是否是简谐振动？为什么？
R 【答】物体是作简谐振动。 当小物体偏离圆弧形轨道最低点??角时，其受力如图所示．
O切向分力 Ft??mgsin? ∵??角很小， ∴ sin???≈? ? N 牛顿第二定律给出 Ft?mat 即 ?mg??md2(R?)/dt2 d2?/dt2??g?/R???2? 物体是作简谐振动．
例7-4 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l0 = 1.2 cm而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式．
【解】设小球的质量为m，则弹簧的劲度系数 k?mg/l0． 选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x处时，根据牛顿第二定律得
22 mg?k(l0?x)?mdx/dt
22将 k?mg/l0 代入整理后得 dx/dt?gx/l0?0
?Ft?mg
∴ 此振动为简谐振动，其角频率为． ??g/l0?28.58?9.1?
设振动表达式为 x?Acos?(t??) 由题意： t = 0时，x0 = A=2?10∴ x?2?10?2?2m，v0 = 0，解得 ? = 0
cos9(.1?t)
例7-5 用余弦函数描述一简谐振子的振动．若其速度～时间（v～t）关系曲线如图所示,则振动的初相位为
(A) ?/6. (B) ?/3. (C) ?/2. (D) 2?/3.
v (m/s) O t (s) ?1vm 2-vm 例7-6 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简 x (cm) 谐振动的振动方程为：
(A) x?2cos(2?t?2?)． (B) x?2cos(2?t?2?)．
3333(C) x?2cos(4?t?2?)． (D) x?2cos(4?t?2?)．
3333O -1 -2 t (s) 1 例7-7 一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为 x?4?10?2cos(2?t?13从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm?) (SI)．
处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为 (A)
18s (B)
16s (C)
14s (D)
12s
v0 = 0 (a) v0 (b) 例7-8 在t = 0时，周期为T、振幅为A的单摆分别处于图(a)、(b)两种状态．若选单摆的平衡位置为坐标的原点，坐标指向正右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为(a) ；(b) ．
例7-9 一个轻弹簧在60N的拉力下可伸长30cm，现将以物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg．待其静止后再把物体向下拉10 cm，然后释放．问：(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分离？
【解】 (1) 设小物体随振动物体的加速度为a，按牛顿第二定律有（取向下为正） mg?N?ma
N?m(g?a) 当N = 0，即a = g时，小物体开始脱离振动物体，已知 A = 10 cm，k?60/0.3?200N/m
有 ??k/m?50rad2s 系统最大加速度为 amax??A?5 m2s 此值小于g，故小物体不会离开．
22-12-2
(2) 如使a > g，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得g?a???x x??g/?22置上方19.6 cm处开始分离 由amax??A?g，可得 A?g/?=19.6 cm．
??19.6 cm 即在平衡位
例7-10 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
(A) 3?． (B) ?． (C) 1?． (D) 0．
22x x2 A/2 O -A x1 t 例7-11 一质点同时参与两个在同方向的简谐振动，其表达式分别为
x1?4?10?2cos(2t????), x2?3?10?2cos(2t?5???) (SI)， 则其合成振动的振幅为 ，初相为 ．
【例题答案】
例7-1[ B ]；例7-2 0.5(2n+1) n = 0,1,2,… n n = 0,1,2,…；例7-5 [ A ]； 例7-6[ C ]； 例7-7[ D ]； 例7-8
x?Acos(2?tT?12?) x?Acos(2?tT??)例7-10 [B]；例7-11 1310 m ?/6
-2
【练习题】
7-1 一质点作简谐振动，振动方程为x?Acos(?t??)，其中m是质点的质量，k是弹簧的劲度系数，T是振动的周期．在求质点的振动动能时，下面哪个表达式是对的 (A)
122122m?Asin(?t??)． (B)
22212m?Acos(?t??)．
222 (C) kAsin(?t??)． (D)
12kAcos(?t??)．
27-2 一质点作简谐振动，振动方程为x?Acos(?t??)，当时间t = T/2（T为周期）时，质点的速度为 (A) ?A?sin?． (B) A?sin?． (C) ?A?cos?． (D) A?cos?．
7-3 一物体作简谐振动，振动方程为x?Acos(?t?1?)．在 t = T/4（T为周期）时刻，物体的加速度为
4(A) ?122A?． (B)
2122A?． (C) ?2123A?． (D)
2123A?．
27-4 在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l0 = 1.2 cm而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2 cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式．
x 4 O -2 2 t (s) 7-5 一质点作简谐振动．其振动曲线如图所示．根据此图，它的 周期T = ；用余弦函数描述时初相? = ．
7-6 一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T1和T2．将它们拿到月球上去，相应的周期分别为T1?和T2?．则有
(A) T1??T1且T2??T2． (B) T1??T1且T2??T2．
(C) T1??T1且T2??T2． (D) T1??T1且T2??T2．
7-7 一弹簧振子系统具有1.0 J的振动能量，0.10 m的振幅和1.0 m/s的最大速率，则弹簧的劲度系数为 ，振子的振动频率为 ．
7-8 两个同方向的简谐振动曲线如图所示．合振动的振幅为 ；合振动的振动方程为 ．
7-9 一单摆的悬线长l = 1.5 m，在顶端固定点的竖直下方0.45 m处有一小钉，如图．设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比A1/A2的近似值为 ；左右两方周期之比T1/T2的近似值
0.45 m 小钉 · x A2 A1 O -A1 -A2 x1(t) T x2(t) t 为 ．
7-10 在竖直面内半径为R的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处．然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动.试证明：物体作简谐振动的周期为：T?2?R/g
OR【练习题答案】
7-1 A 7-2 B 7-3 B
7-4解：设小球的质量为m，则弹簧的劲度系数 k?mg/l0．
选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x处时，根据牛顿第二定律得
mg?k(l0?x)?md2x/dt2
l0
0 将 k?mg/l0 代入整理后得 d2x/dt2?gx/l0?0 k l k(l0+x) ∴ 此振动为简谐振动，其角频率 ??g/l0?28.58?9.1?
mg x x mg 设振动表达式为 x?Acos?(t??)
由题意： t = 0时，x0 = A=2?10?2m，v0 = 0，解得 ? = 0
∴ x?2?10?2cos(9.1?t) 7-5 3.43 s -2?/3 7-6 D 7-7 23102 N/m 1.6 Hz 7-8 |A1 – A2| x?A2?A1cos(2?t?1?) 7-9 0.84 0.84
T27-10证明： 当小物体偏离圆弧形轨道最低点??角时，其受力如图所示．
222切向分力 Ft??mgsin? ∵ ??角很小， ∴ sin???≈? 牛顿第二定律给出 Ft?mat 即 d?/dt??g?/R????
将上式和简谐振动微分方程比较可知，物体作简谐振动由③知 ??g/R 周期 T?2?/??2?R/g?
第八章 波动
【例题】例8-1 如图，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s沿x轴负方向传播，
已知A点的振动方程为 y?3?10?2 B u A x cos4?t (SI)． (1) 以A点
为坐标原点写出波的表达式；(2) 以距A点5 m处的B点为坐标原点，写出波的表达式． 【解】(1) 坐标为x点的振动相位为
?t???4?[t?(x/u)]?4?[t?(x/u)]?4?[t?(x/20)] 波的表达式为 y?3?10 (2) 以B点为坐标原点，则坐标为x点的振动相位为 ?t????4?[t?y?3?10?2?2cos4?[t?(x/20)] (SI)
x?520] (SI) 波的表达式为
cos[4?(t?x20)??] (SI)