有限群的另一定义 群同态 变换群
定理1 一个有乘法的有限集G是群?1、关于乘法是半群；2、消去律成立。 证明：“?”设G={a1,?,an}，?a,b?G，构造G'?(aa1,?,aan}，由半群的定义可知G'?G，由消去律，当i?j时aai?aaj，所以G?G'，即b?G'，所以b?aak，即方程ax?b在G里有解，同理方程ya?b在G里有解，所以G是一个群。
因此也可用半群和消去律来定义有限群。 由有限集A的代数运算可用一个运算表给出：
?a1a2?ama1d11d12?d1ma2d21d22?d2m ??????andn1dn2?dnm从表上可看出代数运算的许多性质，如
1、?是代数运算?表中所有dij?A；
2、?适合交换律?表中关于主对角线对称的元相等；
3、?适合左(右)消去律?A中每个元在表的各行(列)都出现且只出现一次； 4、ai是A的左(右)单位元?ai所在的行(列)与顶行(左列)一致； 5、aj是ai的左(右)逆元?aj所在的行与ai所在的列相交处是单位元。 因此利用运算表可以帮助我们判断一个有限集合是否构成群，但结合律的检验比较麻烦，不能从表中看出。
在第一章中，我们讨论了集合的同态映射，这里我们要在两个群中讨论同态映射。
定义：若G，G1是两个群，若存在一个G到G1的同态满射，则称G与G1同态。
定理2 G是一个群，群G与G1对它们的乘法运算同态，则G1也是群。 证明：设?是G到G1的同态满射，则?y1,y2,y3?G1,?x1,x2,x3?G使
?(x1)?y1,?(x2)?y2,?(x3)?y3，所以y1y2??(x1)?(x2)??(x1x2)?G1；又有
y1(y2y3)??(x1)(?(x2)?(x3))??(x1)?(x2x3)??(x1(x2x3))???(y1y2)y3；由G是一个群，?e?G使?x?G都有xe?ex?x,设?(e)?e'?G1，则?y?G1有
ye'??(x)?(e)??(xe)??(x)?y，e'y??(e)?(x)??(ex)??(x)?y，所以G1有单位元；?y?G1,?x?G使?(x)?y,?x?1?G使?(x?1)?y'?G1，使yy'?e'，同理y'y?e'，所以G1中每一个元都有逆元。所以G1是一个群。
注：定理2的逆命题不成立，即若?是G到G1的满同态，G1是群，则G不
一定是群。如零映射。但如果映射?是同构映射，则只要其中一个是群，那么另一个也是群。
定理3 设G，G1是两个群，在G到G1的同态映射之下，G的单位元的象是G1的单位元；G的元a的逆元的象是象的逆元；即e?e',a?1?(?(a))?1，
|a|有限，则|?(a)|有限。
若G，G1是两个群，存在G到G1的同构映射，则称群G与G1同构，记G?G1。
*
例4 设Un是所有n次单位根按普通的乘法作成的群，?是n次单位原根，
令?:?k?[k]，则?是Un到模n的剩余类加群Zn的同构映射。
到目前为止，我们讨论的群都是比较简单的或一般的群，这一节，下面我们要讨论一个具体的群，这个群一方面本身非常重要，另一方面它也给了一个非交换群的例子。
定义 设A是一个非空集合，A到A的映射称为A的变换，A到A的满射称为A的满变换，A到A的单射称为A的单变换，A到A的双射称为A的一一变换。
定理4 设G是A的若干个变换组成的集合，且??G，若G对于变换的乘积作成群，那么G只包含A的一一变换。
证明：???G，因为G是群，所以存在??1?G使???1???1???，?a?A
???1(a)?A使?(??1(a))?a，所以?是满射；若?a,b?A,且?(a)??(b)，则a???1(?(a))???1(?(b))?b，所以?是单射。从而是一一变换。
定义：A的若干个一一变换构成的群G称为变换群。
定理5 一个集合A的所有一一变换构成一个变换群，记E(A)。
例1(P48例4) 设A是一个平面上所有点构成的集合，那么平面的一个绕一个定点的旋转可以看成A的一一变换，设G是包含所有绕一个定点的旋转，那么G是一个变换群。
设??表示转?角的旋转，则有??1??2???1??2; 结合律显然成立；???0?G；结合律显然成立；???0?G；???1????。所以G是一个变换群。但G不包含A的全部一一变换。
所以给了一个集合A，除了最大的变换群E(A)外，A的确还有别的较小的变换群。变换群显然不是交换群，因为变换不满足交换律。变换群还告诉我们非交换群的存在。
定理6 任何一个群都同一个变换群同构。
证明：设G1={?a|?a(x)?ax,?x?G}，则G1是G的一些变换组成的集合，建立一个G到G1的映射?:a??a,下面证明?是G到G1的同构映射。
?x?G有?a??b(x)??a(bx)?(ab)x??ab(x),所以?(ab)??ab??a??b??(a)?(b)，
?是同态映射；???G1,?a?G，使，???a,即?(a)??，所以?是一个满射；若?(a)??(b)，则?a??b，所以?x?G有?a(x)?ax?bx??b(x)，由G是一个群，满足消去律，即a?b，所以?是单射。因此G与G1同构，因为G是一个群，所以G1也是群。又因G是群，所以存在单位元e，且?e(x)?ex?x，所以
?e???G1，由定理2，G1是一个变换群。
例2 P505
证明一：设V是R上的一个n维向量空间，由定理4，E(V)是一个变换群，取V的一个基，则E(V)的每一个变换与一个n阶可逆矩阵一一对应，若设G是R上所有n阶可逆矩阵构成的集合，则E(V)?G，所以G是一个群。
证明二：由群的定义证明满足封闭性；结合律；单位元；逆元。所以构成群。 作业：P50 1，4， P441，
置换群
上一节讨论了变换群，即集合A到A的所有一一变换构成的群E(A)及它的非空子集构成的群，当A是有限集时，通常记A={a1,?,an}。
定义：一个包含n个元的有限集的一一变换称为(n次)置换；一个包含n个元的有限集A的若干个一一变换构成的群称为n次置换群；一个包含n个元的有限集A的所有置换构成的群称为n次对称群，记Sn。
设?是A的一个置换，ai?A在?之下的像是aki，则?可记作
?a1????ak?1常将置?记作
?1??k?1a2ak2?an??
?akn??而将ai?A在?之下变为aki与ai和aki具体表示的内容无关，只与i和ki有关，因此
2k2?n?? ?kn??这里确定?的是A的每一个元的像，与第一行的n个元的排列次序无关，如下
列置换
?123??132???231??,??213?? ????是同一个置换。
由对称群与排列的定义可得： 定理1 n次对称群的阶是n！。
例1 二次对称群S2的阶是2，其元为
?12??12???12??，??21??； ????三次对称群S3的阶是6，其元为
?123??123??123??123??123??123???123??，??213??，??231??，??321??，??312?? ?132??，?????????????而且
?123??123??123??123??123??123???213??=??312??，??213????231?? ?132????132??=?????????????所以S3是一个非交换群。
为了表示上方便，置换还可以用另外一种方法表示，先引进一个新的符号。 定义：设在n次置换?下，k1的像是k2，k2的像是k3,?,kr?1的像是kr，
kr的像是k1，其余的数字(如果还有的话)保持不变，则称?是一个r—循环置换，记作
??(k1,?,kr)?(k2,?,kr,k1)???(kr,k1,?,kr?1)
1—循环置( j )是恒等置换，2—循环置换(k1,k2)又称为对换。
例2
?12345??1234????；?(123)?(231)?(312)?23145??1324????23?； ?????12345??12345???23451???(12345)；??12345???(1)?(2)?(3)?(4)?(5)。 ?????1234??1234???一个置换不一定是循环置换，如?，但?2143??2143??=(1 2)(3 4)。
????定理2 每一个n元置换?都可以写成若干个互相没有共同数字的(不相连
的)循环置换的乘积。
证明：对?变动的个数t作归纳法证明。若t=0，则 ?是一个恒等变换，定理成立。
设0 当t=s时，任取被?变动的数字k1，并设k1的像是k2，k2的像是k3,?,由于总共变动s个数字，从而一定存在r，使kr的像是k1,?,kr中的某一个，由假设这样我们就得到了一个循环置换?1?(k1,?,kr)。若r=s,则???1kr的像只能是k1， 是一个循环置换，若r ?k1?kr????k?k1?2kr?1?kskr'?1?ks'ks?1?kn?? ks?1?kn???k1?kr=??k?kr?1?k1?kr??k?k1?2kr?1?kskr'?1?ks'kr?1?kskr?1?ksks?1?kn?? ?ks?1?kn?ks?1?kn?? =?1?1 ?ks?1?kn?其中?1使s-r个数字变动，而且这些变动的数字不同于k1,?,kr，由归纳法假设?1可以表为互不相交的循环置换的乘积。 如6次置换 ????156243???(254)(36)。 ??由定理2可得：每一个n(n?2)次置换都可表成对换的乘积。 证明 由定理2，每一个置换可以写成不相连的循环置换的乘积，因此只要证明循环置换可分解。设?=(k1,?,kr)是一个循环置换， 当r?1时，(1)?(12)(21)；当r?2时，已是一个对换；当r?2时， ?123456?(k1?kr)?(k1kr)(k1kr?1)?(k1k2)。 P56 5 证明：若1在?中出现，则： ?=(1,k1,?,kr?1)=(1,kr?1)(1,kr?2)?(1,k1)； 若1不在?中出现，则： ?=(k1,?,kr)=(1,k1)(1,k1,?,kr)=(1,k1)(1,kr)?(1,k2)(1,k1)。 如(234)=(24)(23)=(24)(13)(12)(13)=(14)(12)(14)(13)(12)(13),此例表明一个置换的乘积的方法不是唯一的，但有下面的结论： 定理3 循环置换具有下列性质： 1、(k1,?,kr)的阶是r；(留作习题) 2、(k1,?,kr)-1=(kr,?,k1); 3、奇—循环置换是偶置换，偶—循环置换是奇置换； 4、两个不相交的循环置换的乘积可以交换。 定理6 每一个有限群都与一个置换群同构。 作业：P56 1，2，4