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一元二次方程应用题分类讲解
一、商品销售问题
此类问题常见的等量关系是：利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售数量，
利润利润率= 进价。
例：某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 分析：假设每件衬衫应降价元，现每件盈利为（40－
x）元，现每天销售衬衫为（20＋2x）
件，根据等量关系：
每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。 解：设每件衬衫应降价元，根据题意，得 （40－ 解得
x）（20＋2x）=1200
x1=10，x2=20，因尽快减少库存，∴取x=20 ∴每件应降价20元。
1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：设每件衬衫应该降价x元，则每件衬衫的盈利 元；商场每天可以多销售 件，则商场降价后每天售出的数量为 件。
根据：利润=单件的利润╳数量，我们可以列出方程：
2、 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
3、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
4、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价
5、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：
地址：西安市翠华南路大雁塔小学5楼522室 电话：029-85354310 85354323 15591869960
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P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
6、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。 （１） 当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？
7、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
解 根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31.
因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答 需要进货100件，每件商品应定价25元.
说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
8、某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？
9、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
10、某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共24元。该经营户要想每天盈利200元，则应将每千克的小型西瓜的售价降低多少元？
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11、某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
12、某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册
13、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
14、某商场经销的太阳能路标，标价为4000元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价8元，但单价最低不能低于3200元/个，若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元，则该顾客实际购买了多少个路灯
二、增长率问题
此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到的新的数据。常见的等量关系是：a(1?x)=b，其中b为增长（或降低）后的数量，a为增长（或降低）前的基数，为增长率（降低率）。 例：某印刷厂元月份印刷课本30万册，第一季度共印了150万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？
分析：本题的关键是应用形如a(1?x)=b形式的问题，但要注意不能盲目套公式，此题没有直接给出增长后的数据，而是直接给出了第一季度印刷的总数量，所以使用的等量关系是：元月份印刷数量30万册＋2月份印刷数量30(1?x)＋3月份印刷数量30(1?x)=150万册 解：设2、3月份平均增长率为，则 30＋30(1?x)＋30(1?x)=150 解得，
2222x1=3.56（舍去）x2=0.56=56%
1、某商场1月份的利润是25万元，3月份的利润是36万元，这两个月的利润平均月增长的百分率是多少？
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分析：设这两个月的利润平均月增长率为x， 利润 1月 25万 2月 3月 25(1?x)万 25(1?x)2万 由上面的分析，我们可得到方程： ； 解这个方程得： ；
答： ； 总结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式。
如果变化前的数量是a,每次增长或下降的百分率是x,则增长或下降1次后的值是a(1±x),增长或下降2次后的值是a(1±x),??增长或下降n次后的值是a(1±x),这就是增长率公式.即： a×（1?x）n＝变化后数量
2
n
2、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
解 设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6， 即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）. 答 这两个月的平均增长率是10%.
说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.
3、某工厂2011年生产某种机器400台，到了2013年生产这种机器576台，问该厂这两年生产这种机器的平均年增长率。
4、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，求两次降价的百分率。
5、杭州市某工厂2008年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到2010年共捐款4.75万元,问该厂捐款的年平均增长率是多少?
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6、新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元。市场调研表明：当售价2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润每天达到5000元，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱的定价应为多少元？
三、面积问题
例：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是 144㎡，则道路的宽是多少米?
分析：（1）设路的宽为m，那么道路所在的面积（40积为[40×26－（40x＋26x×2－2x2
x＋26x×2－2x2）㎡，于是六块草坪的面
2）]㎡，根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x）
=144×6
（2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为m，则草坪的总面积为（40－2
x）（26－x）㎡所列方程为（40－2x）（26－x）=144×6
x）（26－x）=144×6
解法1：设道路的宽为m，则根据题意，得40×26－（40＋26×2－2）=144×6整理，得－46＋88=0，解得1=44（舍去），2=2
解法2：设道路的宽为m，则根据题意，得（40－2 解得，
1、一块长和宽分别为40厘米和25厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？
2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。 ①鸡场的面积能达到150m2吗？
②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。 ?若墙长为am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?
x1=44（舍去），x2=2
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