44E?Eme11men?1/2 n?1n证明：????22(?)/h??23h8h?0(n?1)2n24?0hn2(n?1)2电子在n轨道绕核转动的频率为 ?n?而?n满足 m?n
2?rn1
4??0mrne?2re?e24??0r21， 由此得 ?n?则得 ?n?3/24???0mrn?0h2?3/2me41
?n()?233?me24?0hn4???0me?341 同理得电子在n+1轨道上绕核转动的频率 ?n?1?me234?0h(n?1)3显然
1n?1/21 ，
??n????n?1 ??n3n2(n?1)2(n?1)3显然，当n??时,?n?1??n ， 则???n
13.30 在电子束中,电子的动能为200eV,则电子的德布罗意波长为多少？当该电子遇到直径为1mm的孔或障碍物时,它表现出粒子性,还是波动性？
解：电子的动量 p?m??m由德布罗意公式得其波长为
h???ph2mEk?6.63?10?342?9.11?10?31?200?1.6?10?19?8.683?10?11m
2Ek?2mEk m对于直径为d?1mm?1?10?3m的孔或障碍物，由于d???，所以电子表现出粒子性。 13.31 假设粒子只在一维空间运动,它的状态可用如下波函数来描写
x?0,x?a?0? ?(x,t)?? ??iEt/?Aesinx0?x?a?a?式中E和α分别为确定常数,A为任意常数,计算归—化波函数和几率密度ρ.
解：由归一化条件可得
22?aa22??dx?Asinxdx?A?1 故A?2/a ????0a2?0i那么归一化波函数为 ?(x,t)??Et?2???esinx?a?a
6
x?0,x?a
0?x?a?0相应的几率密度为 ???(x,t)???22?sinx?a?a2ox?0,x?a0?x?a
13.32 求一电子处在宽度为a?1A和a=1m的势阱中的能级值,把结果同室温(T=300K)下电子的平均动能进行比较,可得到什么结论？
解：宽度为a的一维无限深势阱的能级为 En?当a?1A?1?10?10m时，En?o?2?22ma2?20n2(n?1,2,3,?)
?2?(1.055?10?34)2?312?9.11?10?1?102??(1.055?10?34)22当a?1m时， En?n?6.03?10?38n2J?3.77?10?19n2eV ?312?9.11?10?1在室温（T?300K）下电子的平均平动能为
33?平?kT??1.38?10?23?300?6.21?10?21J?3.88?10?2eV
22on2?6.03?10?18n2J?37.7n2eV
相比之下可以看出，当a?1A时，各能级值及能级差比电子的平均平动能大好几个数量级，但当a?1m时，各能级值及能级差都远小于电子的平均平动能（仅是平均动能的1016分之一）。由此可见，对宏观问题，量子效应可以忽略。
13.33 质量为m、电量为q1的粒子,在点电荷q2所产生的电场中运动,求其薛定谔方程.
qq解：q1在q2的库仑场中的势能为 V?12 4??0r它不显含时间，属定态问题。则描述q1运动的薛定谔方程（定态薛定谔方程）为
??22q1q2? ???2m??4??r???(r,t)?E?(r,t)0??13.34 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为Ψn(x)?2/asinn?x .试求：粒子在x=0a到x=a/3之间被找到的几率,当
（1）粒子处于基态时；（2）粒子处于n=2的状态时. 解（1）粒子处于基态（n=1），在x=0到x?a/3之间找到粒子的几率
2?212?13p1???1dx??3sin2xdx???3(1?cosx)dx???0.196
00aaa2a34?（2）粒子处于n=2的状态，在x=0到x?a/3之间找到粒子的几率
2a30aa22?14?13p2???2dx??3sin2xdx??3(1?cosx)dx???0.402
a0aa0a38?13.35 求氢原子基态(n=1,l=0)的径向函数,基态的波函数和电子的几率密度最大处的半径等于多少？
2a30aa 7
解：氢原子径向波函数Rnl(r)。对于基态，径向波函数 R10(r)?2(1/a)3/2e?r/a 基态波函数 ?100(r,?,?)?R10(r)Y00(?,?)?1R10(r)?1(1)3/2e?r/a
4??a12径向几率密度 ?(r)?r2R10(r)?4r2()3e?2r/a
a由
d?42?3(2r?r2)e?2r/a?0 得几率密度最大处的半径为 draa4??0?24??8.855?10?12?(1.055?10?34)2r?a???0.53?10?10m 2?31?192mee9.11?10?(1.602?10)13.36 求角量子数l?2的体系的L和Lz之值及L与Z轴方向的最小夹角.
解：l?2体系，m?0,?1,?2
L?l(l?1)??6?，Lz?m? 可取，0,??,?2?
Lm?mL与Z方向的夹角 ??arccozs?arccos?arccos L6?6则最小夹角 ?0?arccos2?36.260
613.37 计算氢原子中l = 4的电子的角动量及其在外磁场方向上的投影值. 解：l?4时，m?0,?1,?2，?3，?4。
则角动量 L?l(l?1)??25?
角动量在外磁场方向的投影值Lz?m?可取0,??,?2?,?3?,?4? 13.38 求出能够占据一个d支壳层的最多电子数,并写出这些电子的ml和ms值.
（2l?1）?5个值，ms??1/2 解：对于d支壳层，l?2，ml可取0,?1,?2共
所以d支壳层相应的量子态数为10个，故最多可有10个电子占据该支壳层。
13.39 某原子处在基态时,其K、L、M壳层和4s、4p、4d支壳层都填满电子.试问这是哪种原子？
解：K壳层（n=1）可容纳电子数为 2?12?2 L壳层（n=2）可容纳电子数为 2?22?8
M壳层（n=3）可容纳电子数为 2?32?18
4s支壳层（n=4，l=0）可容纳电子数为 2(2l?1)?2 4p支壳层（n=4，l=1）可容纳电子数为 2(2l?1)?6 4d支壳层（n=4，l=2）可容纳电子数为 2(3l?1)?10
则该原子的核外电子数为 N=2+8+18+2+6+10=46
8
由此推知该原子是钯 (Pd,Z?46)
*13.40 已知Ne原子的某一激发态和基态的能量差E2?E1?16.7eV ,试计算在T = 300K时,热平衡条件下处于两能级上的原子数之比.
解：由玻尔兹曼分布律得
N2?(E2?E1)/kT?16.7?1.6?10?19/(1.38?10?23?300)?645?e?e?e?0 N1 按照玻尔兹曼分布律，粒子的分布随能量按指数规律衰减。由上述计算结果可以看出，当两能级差较大时，高能态与低能态的粒子数之比趋于0，粒子几乎全部处在低能态。
*13.41 硅与金刚石的能带结构相似,只是禁带宽度不同,已知硅的禁带宽度为1.14eV,金刚石的禁带宽度为5.33eV,试根据它们的禁带宽度求它们能吸收的辐射的最大波长各是多少？
解：由 h???E得 ???Ecch ??? h??E对于?E?1.14eV?1.824?10?19J的禁带宽度，由上式计算可得对应辐射的最大波长
3?108?6.63?10?34?1??1.090?10?6m?1.090?m ?191.824?10对于?E?5.33eV?8.528?10?19J
3?108?6.63?10?34?2??2.33?10?7m?0.233?m ?198.528?10即硅和金刚石能吸收辐射的最大波长分别为1.090?m和0.233?m
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