1 系统因果稳定性
系统因果稳定性的判断方法有三种。
第一种是定义法，即因果系统是指某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入，稳定系统是指有界输入产生有界输出。
第二种方法是线性时不变系统的充分必要条件，因果性是指n<0时，冲激响应函数h(n)=0。稳定性是
n????|h(n)|?P??。
?第三种方法是线性时不变系统的收敛域法，即系统函数H(z)必须在从单位圆到无穷的整个z域内收敛。
注意第一种判断法是通式，可适用于任何系统，而第二、三种方法仅适用于线性时不变系统。
例题1：判断系统y(n)?T[x(n)]?ex(n)的因果稳定性。
解法一：定义法。
?y(n)只与x(n)有关，?是因果系统。 又
?|x(n)|?A,则e?系统稳定。?A?y(n)?eA
解法二：充分必要条件法。
?h(n)?e?(n)0当n?0时，h(n)?e?1?0?是非因果系统。又?n????|h(n)|??|en??????(n)
|?...?1?1?e?1?1?...???是非稳定系统。为什么用两种方法得出相反的结论呢? 分析一下, 第一种判断法是通式，可适用于任何系统，而第二、三种方法仅适用于线性时不变系统。那么此系统是否为线性时不变系统呢?由于
ax1?T?(n)(n)?ax?bxe2?1??eax1?ebx2(n)(n)(n)?bx2(n)
?T?T??ax1(n)????bx2(n)???aT??x1(n)???bT??x2(n)??所以此系统为非线性系统，不能用第二种方法判断。因此，解法一的答案正确。此题告诉我
们，应用定理时要注意定理的应用范围。
2 翻褶移位函数的实现及其z变换
大多数教科书中分别介绍了移位和翻褶这两种运算。若某序列为x(n)，则x(n+m) 表示x(n)逐项依次左移（m>0）位。x(-n)表示以n=0的纵轴为对称轴将x(n)加以翻褶。那翻褶移位合并起来，如x(-n+m)怎样实现，书中没有给出，很多学生理解有误，表现在求其z变换上出错。下面举例说明x(-n+m)的含义。
例题2：设x(n)=[1 2 3]，求x(-n+1)及其z变换。 解法一：
思路：序列先移位后翻褶。用Matlab画图表示。
3210-202x(n)3210-202x(n+1)3210-202x(-n+1)
图1. 解法一序列波形图
x(n+1)表示将x(n)左移一位，x(-n+1)表示将x(n+1)翻褶。相应的z变换：
x(n)?X(z)x(n?m)?zX(z)mX(z)x(?n?m)?zX(zx(?n)??m?1
?1)m=1即为答案。 解法二：
思路：序列先翻褶后移位。用Matlab画图表示。
3210-202x(n)3210-202x(-n)3210-202x(-(n-1))
图2. 解法二序列波形图
x(-n)表示将x(n) 翻褶，x(-(n-1)) 表示将x(-n)右移一位，而不是左移。相应的z变换：
x(n)?X(z)x(?n)?X(z?1)?m?1
x(?n?m)?x(?(n?m))?zX(z)两种解法答案一样。通过这个例题，可注意到x(-n)的移位与x(n)的移位方向相反。
3 卷积与相关
卷积和相关有类似的数学公式，即 线性卷积：z(n)?m????x(m)y(n?m) ?x(m)y(m?n)
?*?线性相关：
rxy(n)?m???容易混淆。但它们的物理概念完全不同，应用不同。卷积反映了线性时不变系统输入和输出的关系，而相关只是反映两个信号的相似程度，和系统本身的特性无关。例如，语音信号是由激励源与声道传输函数卷积得到，对于浊音部分可通过求自相关函数得到它的基音周期。掌握了概念的物理意义，就不会混淆了。但在数学计算上他们确实有类似的地方，相关可以用卷积形式表示， 如
rxy(n)?m?????x(m)y(m?n)＝x(n)*y*(-n)
*
4 四种傅里叶变换的关系
四种傅里叶变换:
连续时间非周期信号的傅里叶变换（CTFT） 连续时间周期信号的傅里叶级数(CFS) 离散时间非周期信号的傅里叶变换(DTFT) 离散时间周期信号的傅里叶级数(DFS) 之后，
离散傅里叶变换（DFT）是不是第五种傅里叶变换形式呢？不是。
前四种傅里叶变换揭示出傅里叶变换的真正含义——时域信号和它的频谱的对应关系，一个域的连续或离散，对应变换域的非周期或周期，并且这四种傅里叶变换形式真正表示信号的频谱，而DFT实际上来自DFS，只不过仅在时域和频域各取一个周期而已，对应在时域和频域都是离散、有限长序列，它不是一种新的傅里叶变换形式，是为了计算和处理方便引入的。
在讨论其性质时， 无论在时域还是频域都要时刻注意所隐含的周期性,即参于计算的序列是周期序列的一个周期，因而DFT中的移位为循环移位。
这些傅里叶变换的形式和性质可以对照着记忆。
5傅里叶变换的对称性
一个序列x(n)可以分解为实部xR(n)和虚部xI(n)，也可分解为共轭对称部分xe(n)和反共轭对称部分xo(n)。相应的x(n)的频域值X(ej?)也可分解为实部
X()和虚部Rej?X()，也可分解为共轭对称部分Xe(e)和反共轭对称部分Xo(e)。 Iej?j?j?由于习惯上将小写字母对应于时域信号，相应的大写字母就是它的频域形式，所以学生就容易想当然的认为xR(n)和
X()构成一对傅里叶变换对，xe(n)和Xe(e)构成一对Rej?j?傅里叶变换对。这是错误的，正确的对应关系为：
x(n)?j?xR(n)?j?jx(n)I?j?x(n)e?j?x(n)o?X(e)??????
IXe(e)xe(n)?Xo(e)?j?XR(e)jX(e)j?简单证明一个
X()关系，如下： Re1*DTFT[xe(n)]?DTFT[[x(n)?x(?n)]]2
1j?j?j?*?[Xe?Xe]?XR(e)2????相应的离散傅里叶DFT变换也有类似的结论，可以联合起来一起记忆，但要注意到正是由于有限长序列被看成周期序列的一个周期，或者说是进行了周期性延拓，所以有了圆周共轭对称的定义。由此可见，不能按照思维定式，想当然的推理，要理解公式含义，正确推导。
6 高密度谱和高分辨率谱
高密度谱和高分辨率谱也是两个不同的概念。高密度谱是通过补零操作得到更光滑的谱线，减少栅栏效应。高分辨率谱是通过增加信号的记录长度得到，频率分辨力与信号的实际长度成反比，信号越长，其分辨力越高。下面举例说明这两种谱的区别。
例题3: 设x(n) = cos(0.48?n)+cos(0.52?n); 0?n?99，分别用Matlab语言编程画出下列函数的波形及幅度谱： （1） x(n)的前10点；
（2） x(n)的前10点，后面补上90个零值； （3） x(n)的前100点。
解：Matlab语言编程程序省略，这里直接给出图形，见图3所示。
x(n), 0 <= n <= 9210-1-2510nMagnitude spectrum 108642000.51frequency in pi units0x(n), 0 <= n <= 9 + 90 zeros210-1-20210-1-2x(n), 0 <= n <= 9950100050100nnHigh density spectrumHigh resolution spectrum10608642000.51frequency in pi units000.51frequency in pi units4020
(a) (b) (c)
图3. 序列的波形图及幅度谱
图3（a）为x(n)前10点的波形及幅度谱，（b）为x(n)的前10点，后面补上90个零值的函数波形及幅度谱，（c）为x(n)前100点的波形及幅度谱。比较图3（a）和（b），发现两者有用的信息量相同，但用不同的点数N做DFT，N值越大，谱线更光滑，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来，改善了栅栏效应，但是频谱包络线不变，因此并不能提高频谱分辨率。
分析函数x(n)知，它应有两个频率成分，分别为0.48?rad/s和0.52?rad/s，而图3（b）虽然使谱线更光滑，但只给出一个峰值，没有检测出x(n)的两个频率成分。图3（c）增加了采样点数，则可在幅度谱上清晰的分辨出两个谱峰。因此图3（b）对应的是高密度谱，图3（c）对应的是高分辨率谱。
由此可见，补零操作可以使谱的外观得到平滑，减小了栅栏效应，信号的频谱看得更清楚，但不能提高频度分辨率。提高分辨率是通过增加信号的记录长度得到的。
7 重叠相加法和重叠保留法
对于很长序列和短序列进行卷积，可采用重叠相加法和重叠保留法进行快速实现。课本上只是通过公式图形来讲解，十分抽象。许多同学对这两种方法产生混淆，不理解，不会应用，特别是重叠保留法。下面就先给出基本原理，再用实例讲解分析。
设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。
重叠相加法是将长序列x(n)分解为很多段，每段xi(n)长度为L，L和M数量级相同。将每段xi(n)和h(n)补零到N点（N>=L+M-1）,用圆周卷积得到每段线性卷积的值，相邻两段输出序列的重叠M-1值相加得到正确值。
重叠保留法也是将长序列x(n)分解为很多段xi(n)，但是每相邻段重叠M-1值取值（对第一段采取前面补M-1个零值），使得每段长度为N点，做N点的xi(n)和h(n)圆周卷积，将每段输出结果前M-1值去掉，剩下的值连结起来就是正确值。
下面就举例说明它们的用法。
例题4：已知 x(n)=(n+1), 0?n?5, h(n)={1,0,1},分别用重叠相加法和重叠保留法求解x(n)*h(n)。
解：通过直接卷积可知x(n)*h(n)值为 {1 2 2 2 2 2 -5 -6}。
解法一：重叠相加法
已知M=3,令L=4, 将x(n)分段，得： x1(n)={1 2 3 4 }； x2(n)={5 6 0 0 }；
将每段做N=8的圆周卷积。
x1(n) ⑧ h(n) ={1 2 2 2 -3 -4 0 0 } x2(n) ⑧ h(n) ={5 6 -5 -6 0 0 0 0} 则：y1=x1(n)* h(n)= {1 2 2 2 -3 -4}
y2=x1(n)* h(n)= {5 6 -5 -6}
将y1尾部和y2头部值重叠 M-1=2点相加，得到y(n)={ 1 2 2 2 2 2 -5 -6}。与直接卷积x(n)*h(n)值比较，发现两值相等。说明此法正确。
解法二：重叠保留法
已知M=3, 将x(n) 重叠 M-1=2点分段，每段长度为4，得： x1(n)={0 0 1 2 }； x2(n)={1 2 3 4 }； x3(n)={3 4 5 6 }； x4(n)={5 6 0 0 }；
将每段做N=4的圆周卷积，得：
y1=x1(n) ④ h(n) ={-1 -2 1 2 }； y2=x2(n) ④ h(n) ={-2 -2 2 2 }； y3=x3(n) ④ h(n) ={-2 -2 2 2 }； y4=x4(n) ④ h(n) ={ 5 6 -5 -6 }；
每段输出去掉前M-1点，将剩下的值连接起来，得到y(n)={ 1 2 2 2 2 2 -5 -6}。与直接卷积x(n)*h(n)值比较，发现两值相等。说明此法正确。
有些同学提出，反正重叠保留法前M-1点不正确，要去掉，能否分段时重叠处直接补零？下面我们就如此分段：
x11(n)={0 0 1 2 }； x22(n)={0 0 3 4 }； x33(n)={0 0 5 6 }； x44(n)={0 0 0 0 }；
下面的求解过程同上，得到yy = { 1 2 3 4 5 6 0 0 }，与x(n)*h(n)值不相等。所以分段时重叠处不能补零，而是相邻段重叠M-1值取值，这样才不会造成输出信号的遗漏，得出正确值。
重叠保留法一个常用的应用就是对语音信号进行分析。语音是短时平稳信号，对它分析，首先就要加窗分帧。分帧一般是采用重叠法，然后对它进行滤波，就可采用重叠保留法。