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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 设f(x)?x2(x?1)(x?2)，求f?(x)的零点个数( )
?A?0
?B?1 ?C?2
?D?3
(2) 如图，曲线段方程为y?f(x)，
y 函数在区间[0,a]上有连续导数，则 C(0, f(a)) A(a, f(a)) a定积分xf?(x)dx等于( ) y=f(x) 0??A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积.
?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.
D O B(a,0) x (3) 在下列微分方程中，以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是( )
?A?y????y???4y??4y?0. ?C?y????y???4y??4y?0.
(4) 判断函数f(x)?
?B?y????y???4y??4y?0. ?D?y????y???4y??4y?0.
lnxsinx(x?0)间断点的情况( ) x?1?A?有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ?B?有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ?C?有两个无穷间断点 ?D?有两个跳跃间断点
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(5) 设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是( )
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛.
?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
(6) 设函数f连续. 若F?u,v????Duv?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
?F?( ) ?uf?x2?y2?x2?y2其中区域Duv为图中阴影部分，则dxdy，?A?vf?u?
2
y x2+y2=u2 x2+y2=1 v Duv ?B?uf?u2?
v?C?vf?u?
vD??uf?u?
(7) 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3?O，则( )
O x
?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆.
?12?(8) 设A???，则在实数域上与A合同的矩阵为( )
?21??A??
??21??.
?1?2?
?B???2?1??.
??12??21??C???.
12??
?1?2? ?D???.
?21??
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) f(x)连续，limx?01?cos(sinx)(e?1)f(x)x2?1，则f(0)??????????????????
(10) 微分方程(y?x2e?x)dx?xdy?0的通解是y?????????????????? (11) 曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.
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(12) 求函数f(x)?(x?5)x的拐点______________.
23?z?y?(13) 已知z???，则?_______.
?x(1,2)?x?(14) 矩阵A的特征值是?,2,3，其中?未知，且2A??48，则?=_______.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分9分)
xysinx?sin?sinx??sinx???求极限lim. x?0x4
(16) (本题满分10分)
?x?x(t)?设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题 t2y??ln(1?u)du?0??dx?xd2y??2te?0的解. 求2. ?dtdx?x|?0?t?0
(17)(本题满分9分)
计算
?1x2arcsinx1?x20dx
(18)(本题满分11分)
计算??max?xy,1?dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
D
(19)(本题满分11分)
设f(x)是区间[0,??)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1. 对于任意的t?[0,??)，直线x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.
(20)(本题满分11分)
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(I) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得?f(x)dx?f(?)(b?a)；
ab(II) 若函数?(x)具有二阶导数，且满足，?(2)??(1),?(2)???(x)dx，则至少存在一点
23??(1,3)，使得???(?)?0.
(21)(本题满分11分)
求函数u?x2?y2?z2在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大和最小值.
(22)(本题满分12分)
设n元线性方程组Ax?b，其中
?2a1?2a2aA????a2??x1???1??????x2?，x???，b??0? ????1??????2a?n?n?xn??0?(I) 证明行列式A??n?1?an
(II) 当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1 (III) 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解
(23)(本题满分10分)
设A为3阶矩阵，向量?3满足A?3??2??3， ?1,?2为A的分别属于特征值?1,1的特征向量，(I) 证明?1,?2,?3线性无关； (II) 令P???1,?2,?3?，求P?1AP
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