浅谈变式教学在高中数学教学中的运用
摘要：变式教学能为学生提供一个求异、思变的空间，帮助学生在掌握基础知识与技能的基础上拓展思维。本文在简要分析运用数学变式教学对高中数学的意义的基础上，结合教学实例，从定义、概念型问题的变式教学，对定理、结论型问题的变式教学，对例题、练习题型问题的变式教学，以及对探究型问题的变式教学四方面阐述了变式教学在高中数学教学中的具体运用，以期能起到减负增效，大大提高教学效率。
关键词：高中数学；变式教学；运用
变式教学是指在教师的指导下，有计划、有目的地改变教学内容的非本质属性，将公式和概念深化、多样化，引导学生从不同的条件和变式中找出事物不变的属性。在高中数学教学中，变式教学有着广泛的应用。它通过不同角度、不同层次、不同背景的变化让学生掌握变化中的不变，通过选择合理的解题方法，揭示不同知识点的内在联系，培养了学生学习的主动性和创新思维能力，实现了将重知识向培养重学生的能力方向发展和转变。因此，适当的变式能够帮助学生对知识有充分的认识和理解，让学生知其然也知其所以然，真正掌握数学的原理和概念。笔者结合教学实例，从如下四方面阐述了变式教学在高中数学教学中的具体应用方法，以期能让学生在举一反三中开拓思维，提高发现问题、解决问题的能力。
一、对定义、概念型问题的变式教学
数学的中定义、概念是数学基础知识的重要组成部分。概念是死的，在传统的教学中，教师则以“告诉”为主让学生“占有”新概念后就不再管了，这是一种错误的做法，因为学生并没有掌握运用这些概念和原理的能力。如果在形成概念的过程中引入变式教学，可以将概念还原到客观实际提出问题，如实例、模型或已有经验、题组等形式，不仅可以利用变式引导学生积极参与形成的全程，而且也能在侧面和反面挖掘概念的属性过程中，达到展示知识形成过程，促进学生概念形成的目的，尤其是数学学习基础较为薄弱的学生，对定义、概念型问题进行变式教学，可以克服对数学概念模糊不清或理解不完整的现象。
例1： 老师提问“已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为12的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线。” 大部分学生可以利用求动点轨迹的一般方法，通过计算得出曲线方程为x2?y2?2x?3?0，即?x+1??y2?4，所以曲线是以(-1，0)为圆心，2为半径的圆。老师可以继续引导学生思考如果改变定点的坐标，或改变距离的比值，曲线是否还是圆？师生可以一起考虑问题的一般形式：在平面内，与两个定点F1,F2的距离的比是常数????0?的点的轨迹是什么？在解题的时候，可以设F1??a,0?,F2?a,0?，动点M?x,y?，则有
2MF1MF2??，即?x?a??y2?? 22?x?a??y2两边平方整理得?1??2?x2??1??2?y2?2a?1??2?x?a2?1??2??0。
（a） 当1??2=0时，?=1，原方程为x?0，此时，动点M的轨迹是直线。
1??22x?a?0，有 （b） 当1???0时，??1，原方程为x?y?2a21??22224?2222?1???22D?E?4F?4a??4a?4a?0，此时动点M的22?2?1????1???2轨迹是圆。
我们得到了圆的一个新定义：在平面内，与两个定点F1,F2的距离的比是常数????0?的点的轨迹是圆。这个定义方式与椭圆的定义类似，不难发现有着如下联系：圆的新定义是动点到两定点的距离比是常数；而椭圆的第一定义是动点到两定点距离的和是常数，第二定义是动点到一定点的距离与到一定直线的距离比是常数。所以3个定义均与距离有关。我们也就得到了由椭圆定义得到的一个变式。
本例题通过定义与例题的巧妙结合，引出了椭圆定义的一个变式，较好地揭示了知识点之间的相互联系。这种以问题为主线，启发学生不断探究的教学模式，把教学的重点放在培养能力、获得知识、注重方法的过程中，突出了学生的主体地位，使学生学得主动，以获得更好的学习效果。
二．对定理、结论型问题的变式教学
数学思维的发展离不开对定理和公式的推理、论证和演算。在数学中，很多公式、原理都是有条件的，要掌握定理和公式，就必须明确理解定理和公式之间的联系以及定理、公式成立依附的条件，只要在这个条件成立的情况下改原理或者概念才适用的，任何机械的理解都不可能熟练、灵活应用定理和公式。所以，教师要在平时的训练中利用变式来强调条件的重要性，以定理、公式的多证变式教学为例，引起学生头脑中的固有思维和新颖题型的冲突来培养学生辨析与定理和公式有关的判断能力，让学生加强对前提条件的理解，进一步改善学生自身的数学思维品质。
例2： 在教授不等式章节中“
x?y?xy，其中x,y?R?（当且仅当 x?y 2时取“＝”号）的定理时，强调定理使用的条件是：一正二定三相等。通过如下习题进行变式练习：
原题：已知 x?0，当x取什么值，x?变式 1：当x?R，函数 y?x?1有最小值？最小值是多少？ x1有最小值吗？为什么？ x9变式 2：已知 x?5，求f?x??4x?的最小值。
x?51变式 3：当x?3，函数 y?x?的最小值为 2 吗？
x均值不等式是高中阶段的一个重点，但学生在使用时，往往容易忘记定理使用的条件“一正二定三相等”。因此，在教学中由习题出发，利用条件特殊化即将原题中一般条件，改为具有特定性的条件，使题目具有特殊性。设计三个变式练习的解答，使学生加深了对定理成立的三个条件“一正二定三相等”的理解与掌握，为定理的正确使用打下了较为坚实的基础。
三．对例题、练习题型的变式教学
教师应将讲解的例题进行适度的推广和变通，比如将解题的结论作为已知条件或是将题目的具体条件进行再次转变等，通过将题目举一反三，适度的进行扩展，让学生通过做一道题要懂一类题。同时，数学教学中常用的还有错题和反面例子，这也是一种变式。让学生发现问题的根源，从正面、反面、侧面以及错误面进行分析，不仅可以让学生弄懂同一类型的题目的解题原理，也能让学生避免在以后的做题过程中不被各种障眼法迷惑，从而做到以题带知识，应用促理解，会一题而通一类。
例3： 如图，已知?CAB在平面?内，?PAB??PAC,P??。求证：点P在平面?内的射影在?CAB的平分线上。
证明：作PO??,PE?AB,PF?AC，垂足分别是O,E,F，连接OE,OF,OA。由
PE?AB,PF?AC,?PAE??PAF,PA?PA，得Rt?PAE?Rt?PAF，所以AE?AF。又
因为PO??,AB??，有PO?AB。由PE?AB，得出AB?平面PEO，有AB?OE。
,O?A同理AC?OF。在Rt?AOE和Rt?AOF中，AE?AFRt?AOE?O，A所以我们得到
R?tAOF，有?EAO??FAO。因此点P在平面?内的射影在?CAB的平分
线上。
对于本题，我们可以考虑以下几种变式：
变式1 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，设它和已知角两边的夹角为锐角且相等，求证这条斜射线在平面内的射影是这个角的平分线。将条件中的距离相等变为角度相等，但结论一样，让学生思考角度相等和距离相等之间的内在联系，揭示问题实质，培养思维的准确性。
变式2 如果三角形所在平面外一点，到三角形三边距离相等，那么这点在三角形所在平面内的射影是三角形的内心。既然平面外一点到一个角两边距离相等其射影在角平分线上，那么在三角形中到三边距离相等其射影必是内心，进一步深入问题实质，深化三角形内心特征在空间中的应用。
变式3 如果三角形所在平面外一点与三角形三个顶点的连线，与三角形任意一角的两边夹角为锐角且相等，那么这点在三角形所在平面内的射影是三角形的内心。变式3与变式2并没有本质区别，仅仅是距离相等和角度相等的转换。
变式4 如果三角形所在平面外一点，到三角形三个顶点距离相等，那么这点在三角形所在平面内的射影是三角形的外心。和上述变式类似，通过三角形内外心的特征类比，让学生掌握解题的关键。
四、对探究型问题的变式教学
探究性学习是一种积极的学习过程，而不是让学生接受教师思考好的现成的结论。在教学中，改变题目固定不变的情境模式，从全新的角度设置数学问题，引导学生从新的角度 、新的方向和选择新的方式去思考问题、解决问题，在变化、联系中寻求规律，在探讨中掌握解题技巧。这不仅能帮助学生加深对数学语言的理解，而不是死记公式、法则，而且也能进一步提高学生的应用能力和综合能力。
1例4： 已知数列?an?,a1?,an?4an?1?1?n?2?写出数列的前五项。这是一
2道简单但是内容丰富的习题，我们可以引导学生进行本题的变式，完善学生的认知结构。
1 变式： 已知数列?an?,a1?,an?4an?1?1?n?2?，求通项an。
2 学生们通过考虑，得到了多种解法，常用的是利用待定系数法构造等比数列进行求解。通过变式探究，总结出了形如an+1?can?d?c?0,c?1,d?0?的递推关系都可以由an+1+k?c?an?k?构造等比数列求解出其通项。
总之，变式教学不仅能使学生全方位、多层次地认识问题的本质，更重要的是思维方式的训练，对学生思维能力的发展和创新能力的提高等方面都大有裨益。在高中数学教学中，我们教师要有意识、有方法地利用变式教学来引导学生在变中求不变的规律，把学习的主动权交还给学生。当然也要注意适度原则，因为变式教学方式对学生的注意力和思维能力都有一定的要求，变式不是越多越好，过多的变式教学反而会让学生产生精神压力，因此需要师在恰当的时候变，在学生理解知识的基础上形成技能、技巧，这样才能在高考中立于不败之地。
参考文献：
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