概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第6页 (共101页)
17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只
残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率α；
（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解 设Hi={箱中实际有的次品数}, i?0,1,2, A={通过验收}
则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：
P(A|H0)?1,4C235P(A|H1)?4?,C2464C2295P(A|H2)?4?C24138
(1)由全概率公式
??P(A)??P(Hi)P(A|Hi)?0.96
i?02(2)由Bayes公式 得
??P(Hi|A)?P(H0)P(A|H0)0.8?1??0.83
P(A)0.9618. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设
备被 使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？
解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1?p=0.9, 故
2(1) P)2(0.9)3?0.0729 1?P5(2)?C5(0.1(2) P 2?P5(3)?P5(4)?P5(5)345?C5(0.1)3(0.9)2?C5(0.1)4(0.9)1?C5(0.1)5(0.9)0?0.00856
19. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，如果每一局甲胜的概率为
0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？ 解 在三局两胜时, 甲队获胜的概率为
PA?P3(2)?P3(3)?C(0.6)(0.4)?C(0.6)(0.4)?0.64823213330
在五局三胜的情况下, 甲队获胜的概率为
PB?P5(3)?P5(4)?P5(5)?C(0.6)(0.4)?C(0.6)(0.4)?C(0.6)(0.4)?0.682353245415550
因此，采用五局三胜制的情况下，甲获胜的可能性较大.
20. 4次重复独立试验中事件A至少出现一次的概率为
65，求在一次试验中A81概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第7页 (共101页)
出现的概率.
解 设在一次独立试验中A出现一次的概率为p, 则由题意
65 004 P4(0)?C4pq?(1?p)4?1?81解得p=1/3.
21.（87，2分）三个箱子，第一个箱子中有4只黑球1只白球，第二个箱子中有3只黑球3只白球，第三个箱子有3只黑球5只白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于 . 已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 解 设B?“取出白球”，Ai?“球取自第i个箱子”，i?1,2,3. A1,A2,A3是一个完全事件组，P(Ai)?1/3,i?1,2,3. P(B|A1)?1/5，P(B|A2)?1/2，
P(B|A3)?5/8，应用全概率公式与贝叶斯公式
111553P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?(??)?,
3528120i?1P(A2|B)?
22.（89，2分）已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8，则和事件A?B的概率P(A?B)? 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B|A)?0.7.
23.（90，2分）设随机事件A，B及其和事件A?B的概率分别是0.4，0.3和
3P(A2)P(B|A2)20?.
P(B)530.6. 若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P(AB)?
解 AB与B互不相容，且A?B?AB?B. 于是
P(AB)?P(A?B)?P(B)?0.3.
24.（92，3
分）已知P(A)?P(B)?P(C)?1，P(AB)?0，4P(AC)?P(BC)?1，则事件A，B，C全不发生的概率为 16解 从P(AB)?0可知，P(ABC)?0.
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第8页 (共101页)
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
?111115???0???0?. 44416168
25.（93，3分）一批产品共有10件正品和两件次品，任意抽取两次，每次抽一件，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为
解 设事件Bi?“第i次抽出次品”，i?1,2. 则P(B1)?2/12, P(B1)?10/12，
P(B2|B1)?1/11,P(B2|B1)?2/11.应用全概率公式
P(B2)?P(B1)P(B2|B1)?P(B1)P(B2|B1)
?
26.（94，3分）已知A，B两个事件满足条件P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)?
解 P(AB)?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB).因P(AB)?P(AB)，故有
211021????. 121112116P(A)?P(B)?1,P(B)?1?P(A)?1?p.
27.（06，4分）设A，B为随机事件，且P(B)?0，P(A|B)?1，则必有（ ） A．P(A?B)?P(A) B．P(A?B)?P(B) C．P(A?B)?P(A) D．P(A?B)?P(B)
解 选（C）
28.（05，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，2，?，X中任取一个数，记为Y，则P(Y?2)? 解 填
13. 48概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第9页 (共101页)
29.（96，3分）设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品属A生产的概率是
解 设事件C?“抽取的产品是次品”，事件D?“抽取的产品是A生产的”，则D表示“抽取的产品是工厂B生产的”. 依题意有
P(D)?0.60,P(D)?0.40,P(C|D)?0.01,P(C|D)?0.02.
应用贝叶斯可以求得条件概率
P(D|C)?P(D)P(C|D)0.6?0.013??.
P(D)P(C|D)?P(D)P(C|D)0.6?0.01?0.4?0.027
30.（97，3分）袋中有50只乒乓球，其中20只是黄球，30只是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 解 设事件Ai?“第i个人取得黄球”，i?1,2. 根据题设条件可知
P(A1)?20301920,P(A1)?,P(A2|A1)?,P(A2|A1)?. 50504949201930202????. 504950495应用全概率公式
P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?
31.（87，2分）设在一次试验中，事件A发生的概率为p。现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为 ；而事件A至多发生一次的概率为 .
解 由于每次试验中事件A发生的概率都是p，并且n次试验相互独立. 这是n重伯努利试验概型. 若Bi?“n次试验中事件A发生k次”，则
kkP(Bk)?Cnp(1?q)n?k,k?0,1,2,?,n.
事件A至少发生一次的概率为
1?P(B0)?1?(1?p)n.
事件A至多发生一次的概率为
P(B0)?P(B1)?(1?p)n?np(1?p)n?1.
32.（88，2分）设三次独立实验中，事件A出现的概率相等. 若已知A至少出
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第10页 (共101页)
现一次的概率等于
19，则事件A在一次试验中出现的概率为 . 27解 设事件A在一次试验中出现的概率为p，这是一个3重伯努利试验概型. 因此在三次独立试验中，事件A至少出现一次的概率为1?(1?p)3. 依题意，有
1?(1?p)3?解之得p?1/3.
19, 27
33.（89，2分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5. 现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为
解 设事件A?“甲射中”，B?“乙射中”，依题意P(A)?0.6,P(B)?0.5,A与
B相互独立. P(AB)?P(A)P(B)?0.3. 因此
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.8,
P(A|(A?B))?
P(A(A?B))P(A)??0.75.
P(A?B)P(A?B)34.（98，3分）设A，B是两个随机事件，且0?P(A)?1，P(B)?0，
P(B|A)?P(B|A)，则必有（ ）
A．P(A|B)?P(A|B) B．P(A|B)?P(A|B) C．P(AB)?P(A)P(B) D．P(AB)?P(A)P(B)
解 应用条件概率定义，从P(B|A)?P(B|A)可得
P(AB)P(AB)?, P(A)P(A)即
(1?P(A))P(AB)?P(A)(P(B)?P(AB))
化简得P(AB)?P(A)P(B)，应选（C）