设f(x)在[a,??)上连续,g(x)在[a,??)上一致连续,即x???时,且
x???lim[f(x)?g(x)]?A，则 f(x)在[a,??)上一致连续.
例5 f(x)?xln(e?)在[1,??)上一致连续.
1x1xln(e?)x?1,b?lim[xln(e?1)?x]?1，故f(x)?xln(e?1)在该分析：由于k?limx??x??xxxe区间有渐近线y?x?1，所以 f(x)在[1,??)上一致连续. e方法7：利用导数
若f(x)在区间I上存在有界导函数,即?M?0,?x?I,有f?(x)?M，则f(x)在I上一致连续.
下面还有一个应用得更加广泛的结论:
若f(x)在[a,??)上连续,在(a,??)内处处可导,且limf?(x)?A存在，则f(x)在
x???[6]
[a,??)上一致连续.
例6 f(x)?'x2?2在(??,??)上一致连续.
xx2?2,f'(x)?1，故f(x)?x2?2在(??,??)上一致连续.
分析：由于f(x)?方法8：利用积分
设函数f(x)在区间[a,??)上局部可积，且f(x)在区间 [a,??)上有界,则
F(x)??xaf(s)ds在[a,??)上一致连续.
方法9：引进拟可导函数来说明一致连续性
定义1(凸函数) 设函数f(x)在区间I上有定义,若?x,y? I,0???1,有
[4]
f[?x?(1??)y]??f(x)?(1??)f(y)(或f[?x?(1??)y]??f(x)?(1??)f(y)),
则称f(x)为定义在区间I上的下凸(或上凸)函数,上,下凸函数统称为凸函数.
注：下面的定义，引理，定理和推论均见[4].
定义2(拟可导函数) 若函数f(x)在U0(x0)有定义,且极限
6
hhf(x0?)?f(x0?)22存在, limh?0hhhf(x0?)?f(x0?)22. 则称函数f(x)在x0拟可导,记为Df(x0)?limh?0h引理1 凸函数在任意开区间（有限或无穷）I上连续. 引理2 若f(x)在区间I上连续，且对?x1,x2?I，有
f(x1)?f(x2)x?x?f(12)，
22则函数f(x)为下凸函数.
定理 若f(x)在开区间I（有限或无穷）上单调，且Df(x)在I内处处存在，有界，则f(x)在I上一致连续.
推论1 若f(x)是开区间I（有限或无穷）上的凸函数，且拟导数存在，有界，则f(x)在
I上一致连续.
推论2 若f(x)在开区间I（有限或无穷）上满足条件： ①?x1,x2?I，有
f(x1)?f(x2)x?x?f(12)；
22②?x?I，f?(x)和f?(x)都存在； ③在I上处处拟可导，且拟导数有界， 则f(x)在I上一致连续. 3.2几个重要应用
应用之一：周期函数的一致连续性
[2][6]
设f(x)是(??,??)上以T为周期的函数，则f(x)在(??,??)上连续?f(x)在
(??,??)上一致连续.
应用之二：基本初等函数的一致连续性
?(1)（幂函数）f(x)?x在[0,??)上，当0???1时一致连续，当??1时不一致连续.
(2)（指数函数）f(x)?e在R上非一致连续.
x 7
(3)（对数函数）f(x)?lnx在(0,1]上非一致连续，在[1,??)上一致连续.
(4)（三角函数）y?sinx和y?cosx均在R上一致连续,y?tanx和y?cotx均在其定义域上非一致连续.
(5)（反三角函数）y?arcsinx和y?arccosx均在[?1,1]上一致连续,y?arctanx和
y?arccotx均在(??,??)上一致连续.
p(x)?0xn??1xn?1?...??n(6)（有理函数）R(x)?，其中n,m为非负整数，?mm?1q(x)?0x??1x?...??m?0,?1,...?n，?0,?1,...,?m均为常数，且?0?0，?0?0.当n?m?1时，R(x)在[a,??)上一
致连续；当n?m?1时，R(x)在[a,??)上非一致连续.（其中a?max{x;q(x)?0}）. 4. 二元函数的一致连续性
前面我们已经对一元函数的一致连续性已作了详细的叙述，下面我们将一元函数的一致连续性的一些结论推广到二元函数中去.
定理1 若函数f(P)在有界闭区域D上连续，则f(P)在D上一致连续. 定理2 函数f(P)在有界开区域D上一致连续?f(P)在D上连续，且
?P0??D,limf(P)存在.（记?D为D的边界）
P?P0P?D2定理3 函数f(x,y)在R上连续，且limf(x,y)存在，其中r?r???x2?y2，则f(x,y)在
R2上一致连续.
定理4 函数f(x,y)在区域D上满足：?(xi,yi)?D(i?1,2)，都有
， f(x1,y1)?f(x2,y2)?k1x1?y1?k2x2?y2（k1,k2为正常数）
则f(x,y)在D上一致连续.
定理5 函数f(x,y)在凸区域D内存在有界偏导数，则f(x,y)在D上一致连续. 定理6 函数f(P)在区域D上一致连续?对?{Pn},{Qn}?D，
n???lim?(Pn,Qn)?0，恒有limf(Pn)?f(Qn)?0.
n??? 8
定理7 函数f(x,y)在有界区域E上一致连续?函数f(x,y)将E中的柯西列变成R中的柯西列.
总之，一元函数的一致连续性大多可以推广到二元函数上去，但形式上要注意区别，例如定理5中的条件要求为凸区域． 5. 结束语
文章比较全面的总结了各种判断函数的一致连续性的条件，并结合实例对这些方法加以运用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，并将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，这些都具有一定的意义．然而必须指出：关于函数一致连续性的判断，是由函数所满足的条件及所定义的范围决定的，本文还不能解决所有的判断函数一致连续的问题，还可以进行更加深入的讨论和研究．
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