浅谈二元函数极限不存在的判定
摘要：求二元函数极限是高等数学的学习中的难点。本文对利用点的领域、路径、聚点等判定二元函数极限不存在进行了简要地归纳总结，寻找出了一些规律。
关键词：高等数学，二元函数，极限，聚点，邻域，路径 1.理论依据
1.1定义1：设f为定义在D??2上的二元函数,P0为D的一个聚点,?是一 个确定的实数。若对任给的正数?,总存在某正数?,使得当P?U0(P0;?)?D时,都有
f(P)????
则称f在D上当P?P0时,以?为极限,记作
limfP(?)? (1)
p?p0p?D在对于P?D不致产生误解时,也可简单地写作
' limfP(?)? (1 )p?p0当p,p0分别用坐标(x,y),(x0,y0)时, (1')式也常写作
(x,y)?(x0,y0)lim??) f(x,y)?? (11.2定义2：设函数z?的实数,如果
0???2f(x,y)在D0使,内有定义,P0(x0,y0)是D内的点, ?是一个确定
U0(?P,?)即D满足不等式：
f(x,y)???0,????)得P(x,y(x?x0)?(y?y0)??的一切点P,都有：|f(x.y)?A|??成立,则称A为z?,也记作(x,y)lim?(x,y)00在P?P0时的极限,记作limf(x,y)=Ax?x0y?y0f(x,y)?A,或者Plim?Pf(P)?A。
01.3 定理1：limf(p)?A的充要条件是：对于D的任一子集E，只要p0是E的
p?p0p?D聚点，就有limf(p)?A。
p?p0p?Ef(P)不存在（包括非正常极限），1.4定理2：设E?D,P0是E的聚点，若Plim?PP?E0则Plim?PP?Df(P)也不存在。
0
1.5定理3：设D1,D2?D,P0是平面点集D1,D2,D的聚点,若存在极限
P?P0P?D1limf(P)?A1,limf(P)?A2P?P0P?D2limf(P)不存在。 ,但A1?A2,则P?PP?D01.6 定理 4：极限limf(p)存在的充要条件是：对于D中任一满足条件
p?p0p?Dpn?p0，且limpn?p0的点列?pn?，它所对应的函数列?f(pn)?n??都收敛。
(x,y)依据定理2和定理3,可以选择沿一条特定的路径P(x,y)?P000，函数
f(x,y)的极限不存在(包括非正常极限)，其中路径可以是定义集合内一条通过点P0的连续曲线，也可以是以点P0为极限的点列。
根据二元函数极限的几何意义，若函数f(x,y)在点p0(x0,y0)存在极限，则动点
P(x,y)沿任意一条曲线(或点列)无限趋近于点p0(x0,y0)时，函数f(x,y)都存在极限，
并且极限值是相同的。
选择沿两条不同的路径P(x,y)?P0(x0,y0),使得函数f(x,y)有不同的值。其中路径可以根据函数而确定为直线或者曲线。多数情况下,选择趋于点P0的不同直线(包括坐标轴)和特殊的曲线。
由此可知，我们可以通过下列两条途径来判定f(x,y)在点p0(x0,y0)的极限不存在：
(1)沿一条特定的路径p(x,y)→p0(x0,y0)，函数f(x,y)的极限不存在。 (2)沿两条不同的路径p(x,y)→p0(x0,y0)，函数f(x,y)的极限值不同。 这样一来，判定极限不存在的关键就转化为寻找恰当的路径。下面，我们假定
(x0,y0)为原点O(0,0)，根据二元函数f(x,y)的结构特点，提出可供选取的路径。
2.对于以下两种函数结构，可选取直线路径y?kx，(k?0)。 2.1不恒为常数的零次齐次函数
不恒为常数的零次齐次函数,是指满足条件f(tx,ty)= f(x,y),且f(x,y)?? C(C为常数)的函数f(x,y),。对于这类函数，由于当动点p(x,y)沿定义域内的直线y?kx
趋向于原点O(0,0)时，有limx?0y?kx?0f(x,y) =limf(x,kx)=f(1,k)?f(k)
x?0而上式f(x))因k不同而不同，所以f(k)?函数f(x,y),当动点p(x,y)?C这表明，沿不同直线趋于原点O(0,0)时，极限值不同，所以极限不存在。
1例1：验证f(x,y)=
x2y3在点O(0,0)极限不存在。
3x2?xy?y2解：函数f(x,y)为不恒为常数的零次齐次函数， 定义域D：?(x,y)|x?0,y?0,但x,y不同时为零?，
1选取直线y?kx，有limx?0y?kx?0f(x,y)?limx2kx3x?0=
3k1?k?k3，这说明，当动点
x2?xkx?(kx)2沿直线y?kx趋向于原点时，由于k不同，函数f(x,y)将趋近于不同的常数，因而极限不存在。
另外曲线路径里面,比较典型的是沿着二次曲线路径使动点P趋于定点P0,使得函数解析式中出现无穷小的部分。对于满足
f(x,y)?F(ay?b(cx?d)2)的函数,讨论
db(x,y?)(,calimfx(y,的时候), 可以考虑沿着路径：y?)(cx?d)?ba2使动点P(x,y)趋于定点
P0(,)。
cadblim例2：(x,y)?(2,1)(x?2)(y?1)3(x?2)?(y?1)422,可以选择动点P(x,y)沿着曲线y?k(x?2)2?1趋于P0(2,1),此时
函数所趋于的常数值与k有关系, 因而极限不存在。
2.2分子的次数不大于分母的次数的齐次有理分式函数 对于有理分式函数
f(x,y)?P(x,y)Q(x,y)，其中P(x,y),Q(x,y)分别是关于变量x,y的m次
f(x,y),可以选取动点和n次齐次多项式,而且m?n,此时计算二元函数极限(x,ylim)?(0,0)
P(x,y)沿着直线而趋O(0,0)时有：
P(k)Q(K)x?0y?kx?0limf(x,y)=limxm?n?x?0=
P(k)Q(K)，此极限的值随k的变化而不同，
P(k)Q(K)当m?n时，limxx?0m?n?P(k)Q(K)=lim1xn?mx?0?，易知，在实数范围内至少存在一点
k0?R，使P(k0)?0，Q(k0)?0。于是当动点P(x,y)在定义域内，沿直线y?k0x趋向
P(k0)Q(k0)于原点时，是非零常数。所以
x?0y?kx00?limfx(,y=)limx?01xn?m?P(k0)Q(k0)??，因而
limfx?0y?0x(,y不存在。)
例3：验证limx?yxyx?0不存在。
解：函数f(x,y)=
x?yxy为齐次有理分式函数，分子P(x,y)=x?y是一次齐次函数,
x?kxx?kx11?kxk符合m?n的条件,选取路径y?kx。,有limf(x,y)=limx?0x?0y?kx?0?=limx?0，取k0=2,
即当动点p(x,y)沿定义域内的直线y?2x 趋向于O(0,0)时,有
limf(x,y)=limx?0x?2xx?2xxx?0y?kx?0=limy32xx?0 所以,函数f(x,y)在原点O(0,0)的极限不存在。
例4：验证lime?ex?0y?0sinxy是否存在。
e?esinxe?exxx 解：由limf(x,y)=limx?0y?xx?0y?x2=0；
2x2) limfx(y,=limx?0y?2xx?0y?2xsin2x=?，
知lime?exyx?0y?0sinxy不存在。
mn3.对于不恒为常数的广义零次齐次函数，可以选取曲线路径 y?kx
不恒为常数的广义零次齐次函数，是指满足条件f(tmx,tmy)=f(x,y),(m>0,n>0)的函数f(x,y),对于这类函数,若令t?xm?1n,则有f(x,y)=f(1,yx于
原
点
?mn) 当动点p(x,y)沿
lim曲线
y?nk? x(x>0)
mn趋
O(0,0)时,有
x?0y?kx?0f(x,y)=limx?0y?kx?0f(1,y?x。显然 当k改变时, f(k)不是一)=limf(1,k)=f(k)。
x?0个常数。这表明f(x,y)在原点O(0,0)的极限不存在。
例5：讨论f(x,y)=
xyx?y22 当(x,y)?(0,0)时是否存在极限。
y?mx趋
解：当动点p(x,y)沿直线
f(x,y)=f(x,mx)=
m1?m2于定点
(0,0)时，由于此时
。
这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同因而所讨论的极限不存在。
例6：验证limx?0y?0xy2x?yxy2x?y422242不存在。
的定义域D： ?(x,y)|x?R,y?R,但x,y不同时为0?，其
limxy2x?y422解：函数f(x,y)=
中m=2，n=1，取y?kx，有
22x?02y?kx?0=limx?kx42222x?02x?(kx)=
k2?k2，其结果与k有
关，因而limx?0y?0xy2x?y42不存在。
4.函数f(x,y)含有“x2?y2”，或f(x,y)为齐次有理分式函数，可以先进行坐标变换??x?rcos??y?rsin?，0?r???， ??????，然后再根据相应的结构形式，选取
不同的路径。 例7：验证limx?0y?0x?yx?2222x?y不存在。
x?yx?2222?x?rcos?解：作坐标变换??y?rsin?，函数x?y化为
r1?cos?