工程硕士《数值分析》总复习题（2010年用）
[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]
一. 解答下列问题:
1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):
a) 对 e = 2.718281828459045?,取x= 2.71828
355b) 数学家祖冲之取 113 作为?的近似值.
*c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。
2) 简述下名词:
a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字)
c) 算法数值稳定性 (不超过60字)
3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算x时的相对误差约等于x的相对
误差的3倍。 4) 计算球体积V3 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r的相对 ?4?r33 误差的允许范围。 5） 计算下式 P（x）?25738?????34
(x?1)5(x?1)4(x?1)3(x?1)2x?1 时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?
??y0?26) 递推公式 ?
??yn?10yn?1?1,n?1,2,? 如果取
到
* ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算y0?2?1.41?y0y10时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？
二. 插值问题:
1) 设函数
f(x)在五个互异节点 x1,x2,x3,x4,x5 上对应的函数值为
f1,f2,f3,f4,f5，根据定理，必存在唯一的次数 （A） 的插值多项式
P(x)，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange插值多项式 L(x),由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数
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li(x)= _（E） ， 从而得Lagrange插值多项式L(x)= （F） ,而插值
余项 R(x)?f(x)?L(x)= （G） 。
2 ) 试用三种方法求过三个离散点：A（0，1） 、B（1，2） 、C（2，3） 的
插值多项式。 3） 求函数
f(x)?e?x 在 [ 0 , 1 ]上的近似一次插值多项式。
4 ) 由函数值表: 求e?2.1x : 1 2 3 e?x : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068
的近似值.
5) 利用插值方法推导 三. 拟合问题:
?[i?0nx?j]i?x ?i?jj?0,j?in 1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 ( A ) 和 ( B ) . 2) 对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的
意义是什么? 3) 设有实验数据如下：
x 1.36 1.73 1.95 2.28 f 14.094 16.844 18.475 20.963
按最小二乘法求其拟合曲线。
4) 已知某试验过程中函数
f依赖于x的试验数据如下：
xi ： 1 2 3 4
fi ： 0.8 1.5 1.8 2.0
?ax?bx2 的经验公式。
试按最小二乘法拟合出一个形如 S5 ) 设有实验数据如下：
x 1 2 3 4
f 4 10 18 26
按最小二乘法拟合出一个形如 S
四. 数值求积:
?a?bx2 的经验公式 。
1) 写出数值求积公式的一般形式, 指出其特点, 并说明它对计算机的计算有什
么意义?
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2) 简述数值求积公式的 ”代数精度” 的概念 3) 插值型求积公式
? b af(x)dx??Akf(xk) 中,每个系数可用公式Ak=
k?0n ( A ) 计算,它们之和
?Ak?0nk= ( B ) , 其代数精度 ( C ) . 又Newton-Cotes公式的一般形式为 ( D ) , 其主要特点是 ( E ) , 其 Cotes系数之和
(n)C?kk?0n= ( F ) , 其代数精度 ( G ) ;
4) 考察数值求积公式
?1?1f(x)dx?A?1f(?1)?A0f(0)?A1f(1),
直接指出: 它是什么类型的公式? 为使其精度尽可能高,A?1,么确值? 它是不是Gauss型公式?
1A0,A1应取什
5 ) 求I??1dx的近似值, 试写出使用11个等分点函数值的求积 31?x02公式( 要求只列出数值公式,不需要求出具体结果 )。 6 ) 利用复化Simpson公式求积分 I（只需列出算式） 。 ??xdx 的近似值
1 7) 利用现成函数表，分别用复化梯形公式Tn和复化Simpson公式Sn计算积分
?I??604?sin2?d? ?
4?sin2?
0 2
?36 1.998100 1 2?36 1.9924473 3?36 1.9831825
4?36 1.9705386 5?36 1.9548386 6?36 1.9364917
五. 解线性代数方程组的直接法:
1） Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？
A．提高计算速度； B．提高计算精度； C．简化计算公式； D．提高计算公式的数值稳定性； E．节省存储空间。
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2） 采用“列主元Gauss消去法” 解下列方程组：
?235??347?????133???x1??5??x???6? ?2?????x3????5??a) 用 ”列主元Gauss消去过程” 将方程组约化成上三角方程组; b) 用 ”回代过程” 依次列式计算出方程组的解。 3) 设方程组
??326??x1??4??10?70??x???7? ???2?????5?15????x3????6??现采用“列主元Gauss消去法”求解，试回答： a） 所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？
b） 要用几步消元？
c） 每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）? d） 现经第１步消元结果, 上述方程组已被约化为
?10?70??x1??7????x???61? 1?610???2??10?55?5?2????x3????2??请你继续做消元计算, 直至约化成上三角方程组。 e）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。
六. 解线性代数方程组的迭代法: 1) 解线性代数方程组 x x(k?1)?Bx?f 的基本型迭代公式
?Bx(k)?f,(0)k?0,1,?
其中B称为什么? x又称为什么? 如果迭代序列
*?x?有极限x（k）*（即迭
代公式收敛），则极限x是什么？ 2） 设解线性代数方程组
的迭代公式为 xAx?b（其中A?Rn?n非奇异，b?0）
(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b),k?0,1,?(0)
则其迭代矩阵是什么? 此迭代公式对任意的初始向量x收敛的充分必要条
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件是什么？ 又此迭代公式对任意的初始向量x么？
3) 设线性方程组
(0)收敛的一个充分条件是什
?21??x1??3??14??x???5? ， ???2???(0) 试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式； 试问所作的两种
迭代公式是否收敛,为什么? 试用初值 x的前三个值.
4 ) 设方程组
?(0,0)T 计算GS迭代公式
?1?5??x1???4??9?1??x???8? ???2???试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式, 并说明两者收敛的根据; 求出这两种迭代的迭代矩阵. 5) 设线性方程组
?0.5a??1??,x,b?R3
2?0.5 Ax?b,A??0.5???1???a?0.5?请按便于计算的收敛充分条件, 求使J法和GS法均收敛的 a 的取值范围.
七．一元方程求根: 1) 写出求方程
f(x)?x3?3x?1?0 在 [ 1，2 ]中的近似根的一个收敛
?2(x?1) 的有根区间 [ 3，4 ] .试
的不动点迭代公式，并证明其收敛性。 2) 已知方程 x?lnx写出求该方程在 [ 3 , 4 ] 中的根的一个不动点迭代公式; 证明所给出 的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法. 3) 用Newton迭代法求方程
f(x)?x3?3x?1?0 在x0?2 附近的根,
试写其Newton迭代公式; 并说明其收敛情况。 4) 试写出求
八. 常微分方程初值问题:
1） 常微分方程定解问题分为初值问题和 ( A ) 问题.初值问题是指由 （B） 和
（C） 两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时， 通常针对基 第 5 页 (共 8 页)
2 的Newton迭代公式，并说明其收敛情况。