强度分布为
x??? I?x?,y????a?bcos?π?
d???角谱为
x??A??fx,fy?????a?bcos?πd????
??exp??j?π?x?fx?y?fy??dx?dy????????
b???????aδ?fx,fy???δ?fx?,fy??δ?fx?,fy???dd??传播距离z后，根据式(2.40)得到角谱
A?fx,fy,z??A??fx,fy?expjkz???λfx???λfy??????????????expjkz???λfx???λfy? ?????????λ???exp?jkz??????d????????b??????????aδf,f?δf?,f?δf?,fy????xyxyx??dd???????b???????aδ?fx,fy?exp?jkz???δ?fx?,fy??δ?fx?,fy2??dd??利用二项式近似有
????????λ????λ?????? exp?jkz??????exp?jkz???exp?jkz?exp???d??????d???????πzλ???j??
d??故
?b?????A(fx,fy,z)?exp?jkz??aδf,f?δf?,fy??xxy?2??d???????πzλ???δf?,fexp?j????xy??? ??dd???????（1）z?zT??d??时
??πd??b?????A(fx,fy,z)?exp?jaδf,f?δf?,fy???xxy???λ2d??????????δf?,fy??xd????????? ??? 26
与A??fx,fy?仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。
zT?d?（2）z???时
??πd??b?????A(fx,fy,z)?exp?jaδf,f?δf?,fy???xxy???λ2d??????????δf?,fy??xd????????? ???对应复振幅分布为
x?d?d U?x,y??a?bcos?π?a?bcos2πdx
因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布。
zT?d?（3）z????
?b????????A(fx,fy,z)?exp?jkz??aδf,f?δf?,f?δf?,fy????xyxyx?2dd?????????exp???π???j?? ??????对应复振幅分布为
x?? Ux,y?exp?jkz?a?jbcos?π
??d????强度分布为
Ix,y?a??b?cos2?π
2.13 图2.16所示为透射式锯齿型位相光栅。其折射率为n，齿宽为a，齿形角为?，
光栅整体孔径为边长L的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求距离光
27
??xd
栅为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。若让衍射图样中的某个一级谱幅值最大，?应如何选择？
LaLa图2.16（ 题2.13）
答：在如图的透射式锯齿型位相光栅中，单位振幅的单色平面波由光栅的背后平面入射垂直照明，则在齿顶平面形成的光波复振幅分布可表示为
?x???x??x??y? U?x?,y???exp?jkxtgα?n-1??rect???comb??rect??rect??
?a?a?a??L??L?其角谱为
A??fx,fy????Ux0,y0exp??j?π?x?fx?y?fy??dx?dy??????
tgα?n????????δ?fx???asinc?afλ???????asinc????a???x??comb?afx??δ?fy??L?sincLf????δ?fy??LsincLf?x??x?xsincLfytgα?n?????fx????comb?afλ??
sincLfy??tgα?n?????????????asincaf??δaf?mδ?fy??LsincLf?????xx??λ??????
28
xsincLfy若让衍射图样中的m级谱幅值最大，应选择?使得 因而有 α?
2.14 设u(x)为矩形函数，试编写程序求p?14，12，34时，其分数阶傅里叶变换，
并绘制出相应U?p?tgα?n-1?m? λa?n??tg??mλa
???的曲线。
答：根据分数阶傅里叶变换定义式(2.62)
1??exp?G????Fa?g?x???????????j?????2?2?sin??????????????2?j?2?x2j?xexp???2tg?sin?????????g?x?dx ?以及式 p???? (2.79)
即可编程计算p?14，12，34时的分数阶傅里叶变换（此处略）。
第三章 习题解答
3.1 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位
因子
29
???kk22exp?j(x0?y0)??exp?j??2d0??2d0?xi2?yi2??M2????? ????试问
（1） 物平面上半径多大时，相位因子
??k22exp?j(x0?y0)?
?2d0?相对于它在原点之值正好改变π弧度？
（2） 设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的
半径是多少？
（3） 由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a，λ和do之间存在什
么关系时可以弃去相位因子
??k22exp?j(x0?y0)?
?2d0?
解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为?的条件是
k2d0(x?y)?2020kr022d0??，r0??d0
（2）根据（3.1.5）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍
?0,y?0) 射图样，其中心位于理想像点(xh(x0,y0;xi,yi)???2?22??P(x,y)exp?j[(x?x)?(y?y)]??dxdy i0i02???d0di???di??11? ?
aJ1(2?a?)?1?r??Bcirc? ????22?d0di??a???d0di?30