图2-9 直线与圆弧相交
直线方程与圆方程联立，得联立方程组：
?(x?x0)2?(y?y0)2?R2??y?kx?b 经推算后给出标准计算公式如下：
A?1?k
2B?2?k(b?y0)?x0?2C?x0?(b?y0)2?R2
?B?B2?4AC xC?（求xC较大者时取“＋”）
2AyC?kxC?b
上式也可用于求解直线与圆相切时的切点坐标。当直线与圆相切时，取B2－4AC=0，此时xc=－B/（2A），其余计算公式不变。
2．圆弧与圆弧相交或相切
如图2-10所示，已知两相交圆的圆心坐标及半径分别为（x1，y1），R1；（x2，y2），
R2，求其交点坐标（xc，yc）。
图2-10 圆弧与圆弧相交
联立两圆方程
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222??(x?x1)?(y?y1)?R1 ? 222??(x?x2)?(y?y2)?R2经推算可给出标准计算公式如下
?x?x2?x1 ?y?y2?y1
222(x2?y2?R2)?(x12?y12?R12) D?
2??x?A?1????y??
??2???D??xB?2???y1??y???y?x1?
?????D?22C??y??1?y???x1?R1
??2?B?B2?4AC xC? （求xc较大值时取“＋”）
2A yC?D??xxC
?y当两圆相切时，B2－4AC=0，因此上式也可用于求两圆相切的切点。
二、非圆曲线节点坐标的计算
当被加工零件轮廓形状与机床的插补功能不一致时，如在只有直线和圆弧插补功能的数控机床上加工双曲线、抛物线、阿基米德螺线或列表曲线时，就要采用逼近法加工，用直线或圆弧去逼近被加工曲线。这时，逼近线段与被加工曲线的交点，称为节点。如图2-11所示，图a为用直线段逼近非圆曲线的情况，图b为用圆弧段逼近非圆曲线的情况。
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a） b） 图2-11 曲线逼近
编写程序段时，应按节点划分程序段。逼近线段的近似区间愈大，则节点数目愈少，相应的程序段数目也会减少，但逼近线段的误差δ应小于或等于编程允许误差δ允 ，即 δ≤δ允。考虑到工艺系统及计算误差的影响， 一般取零件公差的1/5～1/10。 非圆曲线轮廓零件的数值计算过程，一般可按以下步骤进行：
1）选择插补方式，即采用直线还是圆弧逼近非圆曲线。采用直线段逼近，一般数学处理较简单，但计算的坐标数据较多，且各直线段间连接处存在尖角，由于在尖角处，刀具不能连续地对零件进行切削，零件表面会出现硬点或切痕，使加工质量变差。采用圆弧段逼近的方式，可以大大减少程序段的数目，同时若采用彼此相切的圆弧段来逼近非圆曲线，可以提高零件表面的加工质量。但采用圆弧段逼近，其数学处理过程比直线要复杂一些。
2） 确定编程允许误差，即使δ≤δ允。
3）选择数学模型，确定计算方法。目前生产中采用的算法比较多，在决定采用什么算法时，主要考虑的因素有两条，一是尽可能按等误差的条件，确定节点坐标位置，以便最大程度地减少程序段的数目；二是尽可能寻找一种简便的计算方法，以便于计算机程序的制作，及时得到节点坐标数据。
4） 根据算法，画出计算机处理流程图。
5） 用高级语言编写程序，上机调试，并获得节点坐标数据。 下面简单介绍常用算法。
1．用直线逼近零件轮廓曲线的节点计算
常用的计算方法有：等间距法、等弦长法、等误差法和比较迭代法等。
等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距。如图2-12（a）所示，沿X轴方向取?X为等间距长，根据已知曲线的方程y=f（x），可由xi 求得yi，xi+1=xi+ x，yi+1=f（xi+?ｘ）。如此求得的一系列点就是节点。将相邻节点联成直线，用这些直线段组成的折线代替原来的轮廓曲线。坐标增量?X取得愈小则δ插愈小，这使得节点增多，程序段也增多，编程费用高，但等间距法计算较简单。
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a) b） 图2-12 等间距法和等弦长法
a）等间距法 b）等弦长法
等弦长法就是使所有逼近直线段长度相等，如图２-12（b）所示。由于零件轮廓曲线y=f（x）的曲率各处不等，因此首先应求出该曲线的最小曲率半径Rmin，由Rmin及δ允确定允许的步长l，然后从曲线起点a开始，按等步长l依次截取曲线，得b、c、d、?点，则ab=bc= ?=l即为所求各直线段。
总的看来，此种方法比等间距法的程序段数少一些。但当曲线曲率半径变化较大时，所求节点数将增多，所以，此法适用于曲率变化不大的情况。
等误差法是使逼近线段的误差相等，且等于δ允，所以此法较上两种方法合理，特别适合曲率变化较大的复杂曲线轮廓。如图2-13所示。下面介绍用等误差法计算节点坐标的方法。设零件轮廓曲线的数学方程为Y=f（X）。
图2-13 等误差法
（1）以起点a（Xa，Ya）为圆心，以?允为半径作圆。其圆方程为
222 （2-1） ?允?（X?Xa）?（Y?Ya）式中Xa、Ya为已知的a点坐标值。
（2）作δ允圆与曲线Y=f（X）的公切线MN，则可求公切线MN的斜率K K?YN?YM
XN?XM为求YN，YM，XN，XM，需解下面的方程组：
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?YN?f(XN)?Y?YM?N?f?(XN)?XN?NM ?Y?F(X)M?M?YN?YM?F?(XM)??XN?XM（曲线方程） （曲线切线方程） （允差圆方程） （允差圆切线方程） 式中的允差圆即δ允圆，Y=F（X）表示δ允圆的方程，见（2-1）式。 （3）过a点作斜率为K的直线，则得到直线插补段ab，其方程式为
Y－Ya =K（X－Xa）
（4）求直线插补节点b的坐标。 联立方程组：
?Y?f(X) ??Y?K(X?Xa)?Ya（曲线方程） （直线插补段方程） 求的交点b（Xb， Yb）的坐标值，便是第一个直线插补节点。 （5）按以上步骤顺次求得c，d、? 各节点坐标。
用等误差法，虽然计算较复杂，但可在保证δ允的条件下，得到最少的程序段数目。此种
方法的不足之处是直线插补段的联结处不光滑，使用圆弧插补段逼近，可以避免这一缺点。
2．用圆弧逼近零件轮廓曲线的节点计算
用圆弧逼近非圆曲线，目前常用的算法有曲率圆法、三点圆法和相切圆法等。 （1）曲率圆法圆弧逼近的节点计算
1）基本原理 曲率圆法是用彼此相交的圆弧逼近非圆曲线。
已知轮廓曲线Y=f（X）如图2-14所示，从曲线的起点开始，作与曲线内切的曲率圆，求出曲率圆的中心。以曲率圆中心为圆心，以曲率圆半径加（减）δ允为半径，所作的圆 （偏差圆）与曲线Y=f（X）的交点为下一个节点，并重新计算曲率圆中心，使曲率圆通过相邻的两节点。
图2-14 曲率圆法圆弧段逼近
重复以上计算即可求出所有节点坐标及圆弧的圆心坐标。 2）计算步骤
① 以曲线起点（xn，yn）开始作曲率圆：
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