???4hc12??1.22?10nm 223207ZE0207ZA，得到 22r1?a0
207A4）在第一轨道半径的表达式中，令Z?要使??1子进入原子核，则要满足下式
r1?R
将题中的各已知量代入，可解得
A?94
例11 研究原子核的下列粗糙模型：
假定原子核是一个立方体，有n?n?n个核子，每个核子被其他核子的核力所吸引（强相互作用），由于这些力的作用距离很小，我们假定每个核子只与其最邻近的核子之间有相互作用．每个核子—核子对由于这种结合而对核的总结合能的贡献是一个常数．
原子核内有核电荷Ze，它在原子核内产生斥力．根据量纲分析，核的总静电势能正比
Z2于，其中为d原子核的线度．在这个粗糙的模型中，我们可以假定Z正比于原子核中的
d核子数A．
已知元素周期表中元素Fe?A?56?附近的原子核是非常稳定的，它们的核子具有的平均结合能大，都约为8.78MeV核子．
试根据上述模型和已知事实，给出任一原子核内每个核子的平均结合能E与n之间的关系式．
解：想象在一个广阔的空间内有很多核子均匀规则地排列着，与一个核子在前后左右上下周围相邻的核子共有6个，所以这个核子参与6个核子—核子对的强相互作用．对于题述的n个核子，我们可以想象将其置于上述的广阔空间之内．则如上计算共有6n个核子—核子对强相互作用．但实际上这个“核立方体”外并无核子，这个核立方体有六个外侧面，每个外侧面有n个核子，由于这个侧面以外再无核子，故对应于此侧面内的每个核子均应减
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去朝外的一个核子—核子对强相互作用，即减去n个，对于6个外侧面而言，总共应减去6n2232个．由上计算则尚有6n?6n个核子—核子对强相互作用．又由于这种成对的作用是在
??两个核子之间存在的，上面的计算是按一个一个核子独立计算了两次，可见核内的这种强相
32互作用的实际对数应为3n?3n．设每个核子—核子对强相互作用结合时释放出的能量
??为a，则此核形成时，由于强相互作用应放出的总能量为3an2?n?1?．
Z23另一方面，核的总静电势能正比于，而Z正比于核子数A，即正比于n，d为核
d的线度，显然正比于n，由此，核的总静电势能正比于n．设其比例系数为b，则核的总静电势能为bn，即此核形成时由于静电势能的增加需吸收的能量为bn．
由上面两方面可以得到原子核形成时释放的总结合能为
555E?3an2?n?1??bn5
每个核子的平均结合能为
E?E?1?2 ?3a1??bn??3n?n?上式中a、b为与n无关的常数，下面我们进一步来确定常数a、b之值．
根据元素Fe附近的原子核中核子的平均结合能差不多都相等这一事实，应有：当n有微小变化?n时，由上述求出的平均结合能的值不变，即
1?2?1?? 3a?1???bn2?3a?1??bn??n????n??n??n?在?n很小时，近似地有
1111??n????1??
n??nn1??nn?n?n代入前式中，整理，并略去?n??n?展开式中的??n?项，得到
223a?2bn3?0
又根据Fe元素的核子平均结合能为8.78MeV这一事实，有
?1?3a?1???bn2?8.78?MeV? ?n?另有 n?56 综合以上三式，可解得
3a?4.814?MeV?b?0.129?MeV?
由此，将a、b之值代入平均结合能E的表达式中，得到本题所给模型中，核子的平均结合能为
???1?E??14.443?1???0.129n2??MeV?
?n???
例12 质量为m的质点距一个质量为M、半径为R的质量均匀分布的致密天体中心的距离为r?r?R?时，其引力势能为Ep??GMmr，其中G?6.67?10?11Nm2kg2为万有引力常量．设致密天体为中子星，其半径R?10km，质量M?1.5M日（1M日?2.0?1030kg，为太阳的质量）．
1） 1kg的物质从无穷远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能为多大？
2） 在氢核聚变反应中，若参加核反应的原料的质量
为m，则反应中质量亏损为0.0072m，问1kg的原料通过核聚变提供的能量与第一问中所释放的引力势能之比是多少？
3） 天文学家认为：脉冲星是旋转的中子星，中子星的电磁辐射是连续的，沿其磁轴方向最强，磁轴与中子星的自转方向有一夹角，如图所示，在地球上的接收器所接收到的一连串周期脉冲是脉冲星的电磁辐射．试由上述看法估算地球上接收到的两个脉冲之间的时间间隔的下限．
解：1）根据能量守恒定律，质量为m的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能?E1应等于对应始末位置的引力势能的改变，故有
自转轴 磁轴 接收器
?GMm?0?????E1R?GM??? mmR代入有关数据，得到
?E1?2.0?1016?Jkg?1? m2）在氢核聚变反应中，每千克质量的核反应原料提供的能量为
?E2?0.0072c2 m所求能量比为
?E1m?31
?E2m3）根据题意，可知接收到的两个脉冲之间的时间间隔即为中子星的自转周期，中子星做高速自转时，位于赤道处质量为?m的中子星质元所需的向心力不能超过对应的万有引力，否则将会因不能保持匀速圆周运动而使中子星破裂，因此有
?m?2R?式中 ??GM?m （1） R2 （2）
2??、（2）得到 ?为中子星的自转角速度，?为中子星的自转周期．由式（1）
R3 ??2?GM代入数据得到
??4.4?10?4?s?
故时间间隔的下限为 4.4?10s． 【训练题】
1、 一个处于基态的氢原子与另一个基态氢原子碰撞，问可能发生非弹性碰撞的最小速度为多少？氢原子的质量为1.67?10
2、 试确定因氢原子的反冲动能，导致对发射光谱波长的改变值，并计算电子从第二轨道
?27?4kg，电离能E?13.6eV?2.18?10?18J．
跃迁到第一轨道时氢原子获得的反冲速度． 3、 氢原子的核外电子处在n?4的激发态． 1） 算出电子的动能．
2） 当电子回到n?1的基态过程中，可能发出几种频率的光子？
3）设这个氢原子是静止的，试计算当它从n?4的激发态跃迁到基态时，氢原子的反冲速度．
4、 在一个密闭的容器中装有放射性同位素氪
?8536Kr?气，在温度为200C时，其压强为
851atm．将容器埋在地下深处，经过22年后取出．在此期间有些氪气经?衰变成为?37Rb?，
铷最后是固体状态．现在，在温度仍是20C时，测得容器的压强为0.25atm，并测得容器中有固体铷0.75?10mol，铷的体积与容器体积比较可以忽略不计，试计算埋入时氪的质量以及氪的半衰期．
145、 放射性鉴年法．在地球的外层大气中，由于宇宙射线而发生的核反应147N+n?6C+p?1会产生放射性核素C．C发生?衰变的半衰期为5730年，因此，地球大气层中与活着
1414?30的生物体中的CO2，除含有稳定的核素C?99.66%?和C?0.37%?外，还含有少量的
121314C．在活着的生物体内，放射性碳和稳定的碳的比值约为1.3?10?12．生物体死亡后，它
14停止吸收CO2，因此，由于C的衰变，这一比值将会减少．假定我们发现一块古时候埋在地下的骨片，当从骨片中分离出100g碳时，测出这一样品中C的放射性强度为6.5次核衰变每秒．试估计该生物体的死亡年代．
6、 1）试证明：质子和静止的中子发生弹性碰撞，碰后质子和中子的运动方向之间的夹角为90．
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