高三数学 导数解答题专项训练（含解析）
1、已知函数f(x)?1?ln(x?1)x(x?0)． （Ⅰ）函数f(x)在区间(0,??)上是增函数还是减函数？证明你的结论； （Ⅱ）当x?0时，f(x)?kx?1恒成立，求整数k的最大值； （Ⅲ）试证明：(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))?e2n?3． 2、设函数f(x)?x2?14，g(x)?12ln(2ex)，（其中e为自然底数）； （Ⅰ）求y?f(x)?g(x)（x?0）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函数h(x)?kx?b使得f(x)?h(x)且h(x)?g(x)对一切x?0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由； （Ⅲ）数列?an?中，a1?1，an?g(an?1)(n?2)，求证：?n(ak?ak?1)?ak?1?3k?18。 3、已知函数f(x)?ax?1?lnx(a?R)．
（1）讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数f(x)在x?1处取得极值，对?x?(0,??),f(x)?bx?2恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x?y?e?1时，求证：ex?y?ln(x?1)ln(y?1)．
4、已知函数f(x)?ln1?2x?mx．
（Ⅰ）若f(x)为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围； （Ⅱ）当m??1时,求函数f(x)的最大值； （Ⅲ）当m?1,且0?b?a?1时，证明:4f(a)?f(b3?)a?b?2．
5、已知函数f(x)?x?alnx，g(x)??1?ax(a?R)．
（Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?g(x)，求函数h(x)的单调区间；
（Ⅲ）若在区间[1,e](e?2.71828......)上不存在．．．x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求实数a的取值范围．
6、函数f(x)?ax?xlnx?b是奇函数，且图像在点(e,f(e)) 处的切线斜率为3（e为自然对数的底数）． （1）求实数a、b的值；（2）若k?Z，且k?f(x)x?1对任意x?1恒成立，求k的最大值； （3）当m?n?1(m,n?Z)时，证明：?nmm?n??mnn?m．
7、已知函数g(x)?1xsin??lnx在?1,???上为增函数,且??(0,?)，?为常数，
f(x)?mx?m?1x?lnx(m?R)． （1）求?的值；（2）若y?f(x)?g(x)在?1,???上为单调函数,求m的取值范围； （3）设h(x)?2ex,若在?1,e?上至少存在一个x0，使得f(x0)?g(x0)?h(x0)成立，求 m的取值范围．
8、已知函数
f(x)?ln(ex?a)（a为常数，e是自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数
g(x)??f(x)?sinx是区间[－1，1]上的减函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若g(x)?t2??t?1在x?[?1,1]及?所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围； （Ⅲ）试讨论函数h(x)?lnxf(x)?x2?2ex?m的零点的个数．
9、已知函数f(x)?ax2?(2?5a)x?5lnx(a?R)．
1
（Ⅰ）若曲线y?f(x)在x?3和x?5处的切线互相平行，求a的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间； （Ⅲ）设g(x)?x2-52x，若对任意x551?(0,2]，均存在x2?(0,2]，使得f(x1)?g(x2)， 求a的取值范围．
10、已知函数f(x)?lnx,g(x)?12x2?bx（b为常数）
。 （Ⅰ）函数f(x)的图象在点（1,f(1)）处的切线与函数g(x)的图象相切，求实数b的值； （Ⅱ）设h(x)?f(x)?g(x)，若函数h(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围； （Ⅲ）若b?1，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)?f(x2)|?|g(x1)?g(x2)|成立，求b的取值范围。
11、设函数f(x)?xlnx(x?0),g(x)??x?2. （1）求函数f(x)在点M(e,f(e))处的切线方程；
（2）设F(x)?ax2?(a?2)x?f?(x)(a?0),讨论函数F(x)的单调性；
（3）设函数H(x)?f(x)?g(x)，是否同时存在实数m和M(m?M)，使得对每一个t?[m,M]，
直线y?t与曲线y?H(x)(x???1??e,e??)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若
不存在，说明理由．
12、设函数f(x)??axn(x?1)?b(x?0),n为正整数，a,b为常数．曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的
切线方程为x?y?1．（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；（Ⅱ）证明：f(x)?1ne．
13、 已知二次函数f(x)?px2?qx(p?0)，其导函数为f?(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn,点
(n,Sn)(n?N*)均在函数y?f(x)的图像上；．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若c1n?3(a2n?2),2b1?2b2?23b3???2nbn?cn，求数列{bn}的通项公式； nlnk2n2（Ⅲ）已知不等式ln(x?1)?x(x?0)成立， 求证：??n?1*k2?(n?N,n?2)
k?24(n?1)
14、、设函数f(x)?px?qx?2lnx，且f(e)?qe?pe?2，其中e是自然对数的底数． （1）求p与q的关系；
（2）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； （3）设g(x)?2ex，若在?1,e?上至少存在一点x0，使得f(x0)＞g(x0)成立，求实数p的 取值范围．
15、 已知函数f(x)?x2?ax?ln(1ax?122)(a?0).（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间； （2）若对任意的a?(1,2),当x0?[1,2]时,都有f(x0)?m(1?a2),求实数m的取值范围。
16、已知函数f(x)?exx2?ax?1(a?0)， (1)、试讨论函数f(x)的单调区间； （2）、若不等式f(x)?x对于任意的x?[0,a?1]恒成立，求a的取值范围。
17、已知函数，f(x)???(x2?2ax)ex,x?0,x?0,g(x)?c1nx?b，且x?2是函数y?f(x)的极值点．（1）
?bx若方程f(x)?m?0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若直线l是函数y?f(x)的图
象在点（2，f（2））处的切线，且直线l与函数y?g(x)）的图象相切于点P（x10,y0），x0?e[?e,]，
求实数b的取值范围．
2
[1?ln(x?1)]1、解：（Ⅰ）由题x?0,f?(x)??x?1x2?0,故f(x)在区间(0,??)上是减函数;……3分
（Ⅱ）当x?0时，f(x)?kx?1x?1恒成立，即k?x[1?ln(x?1)]在(0,??)上恒成立， 取h(x)?x?1x[1?ln(x?1)]，则h(x)?x?1?ln(x?1)x2，……… 5分 再取g(x)?x?1?ln(x?1),则g?(x)?1?1x?1?xx?1?0,故g(x)在(0,??)上单调递增， 而g(1)??ln2?0,g(2)?1?ln3?0,g(3)?2?2ln2?0，…… 7分 故g(x)?0在(0,??)上存在唯一实数根a?(2,3),a?1?ln(a?1)?0， 故x?(0,a)时，g(x)?0;x?(a,??)时，g(x)?0,
故h(x)a?1min?a?1?ln(a?1)??a?1?(3,4),k?3,故kmax?3…………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
1?ln(x?1)x?3x?1(x?0)?ln(x?1)?3x33x?1?1?2?x?1?2?x 令x?n(n?1),ln[1?n(n?1)]?2?3n(n?1)?2?3(1n?1n?1)，……10分 又ln[(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))]
?ln(1?1?2)?ln(1?2?3)???ln(1?n?(n?1))?2n?3[(1?111112)?(2?3)???(n?n?1)] ?2n?3(1?1n?1)?2n?3?3n?1?2n?3
即：(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))?e2n?3………12分
、解（Ⅰ）x?0时y??2x?14x222x??11112x，易知0?x?2时y??0、x?2时y??0；所以x?
2时求y?f(x)?g(x)取最小值等于0；-----4分 （Ⅱ）由题Ⅰ易知，f(1)?g(1)11122?2，所以h(2)?2；
所以可设h(x)?kx?12?k2，代入 f(x)?h(x)得x2?kx?k12?4?0恒成立，
所以??(k?1)2?0，所以k?1，h(x)?x； ----8分 此时设G(x)?x?12ln(2ex)，则G?(x)?1?12x，易知G(x)?G(12)?0，即h(x)?g(x)对一切x?0恒成立；
综上，存在h(x)?x符合题目要求，它恰好是y?f(x)，y?g(x)图象的公切线。
（Ⅲ）先证?a1n?递减且
2?an?1(n?2)；由题（Ⅱ）知g(x)?x，所以an?g(an?1)?an?1，即?an?为递减数列；又aa111111?1，2?2ln2?2?2，所以a3?g(a2)?g(2)?2，…
因为当a1111k?2时总有ak?1?g(ak)?g(2)?2，所以2???an?an?1???a1?1；所以
?nn22221?1(a??(aank?ak?1a?ak?1a?an?1k?ak?1)?ak?1k?ak?1)??4k?1k?12?kk?12?12?2?38。----12分
3、解：（1）f?(x)?a?1ax?1x?x，当a?0时，f?(x)?0在(0,??)上恒成立， 函数f(x) 在(0,??)单调递减，∴f(x)在(0,??)上没有极值点； 当a?0时，f?(x)?0得0?x?1a，f?(x)?0得x?1a，
∴f(x)在(0,1)上递减，在(11aa,??)上递增，即f(x)在x?a处有极小值． ∴当a?0时f(x)在(0,??)上没有极值点，
当a?0时，f(x)在(0,??)上有一个极值点……4分
（注：分类讨论少一个扣一分。）
（2）∵函数f(x)在x?1处取得极值，∴a?1，∴f(x)?bx?2?1?1x?lnxx?b， 令g(x)?1?1lnxx?x，可得g(x)在?0,e2?上递减，在?e2,???上递增， ∴g(x)2min?g(e)?1?1e2，即b?1?1e2．……8分 3
（3）证明：ex?yln(x?1)exey， ???ln(y?1)ln(x?1)ln(y?1)∴当0?b?a?1时,g(a)?g(b),即f(a)?44f(a)?f(b)4a?f(b)?b??……9分 33a?b3令h(x)?f(x)?2x?ln(1?2x)?x,由（Ⅱ）知它在[0,1]上递减,所以当0?b?a?1时,h(a)?h(b),
1令g(x)?exln(x?1)，则只要证明g(x)在(e?1,??)上单调递增，………9分
ex?x)??ln(1?又∵g?(?x?1)?x?1??ln2(x?1)，显然函数h(x)?ln(x?1)?1x?1在(e?1,??)上单调递增．
h(x)?1?1e?0，即g?(x)?0，∴g(x)在(e?1,??)上单调递增，即exey∴ln(x?1)?ln(y?1)， ∴当x?y?e?1时，有ex?y?ln(x?1)ln(y?1)．……12分
4、解: （Ⅰ）f(x)?ln1?2x?mx?1ln(1?2x)?mx(x??1),∴f'(x)?1221?2x?m……1分 若f（x）在(?11112,??)上是增函数,则f'(x)?1?2x?m?0,即m??1?2x在(?2,??)恒成立, 而?11?2x?0,故m≥0;……2分
若f（x）在(?12,??)上是减函数,则f'(x)?1111?2x?m?0,即m??1?2x在(?2,??)恒成立,而?11?2x?0,故这样的m不存在．-……3分 经检验,当m≥0时,f'(x)?11?2x?m?0对x??12恒成立,
∴当m≥0时，f（x）在定义域上是单调增函数．……4分
（Ⅱ）当m =－1时,f(x)?ln1?2x?x,则f'(x)?12x1?2x?1??1?2x……5分 当x?(?12,0)时,f'(x)?0,此时f（x）为增函数,
当x?(0,??)时,f'(x)?0,此时f（x）为减函数……6分
∴f(x)在x = 0时取得最大值,最大值为f(x)max?0.……7分 （Ⅲ）当m = 1时,令g(x)?f(x)?43x?12ln(1?2x)?13x,g'(x)?11?2x?13?2(1?x)3(1?2x)--1分 在[0,1]上总有g'(x)?0,即g(x)在[0,1]上递增……8分
2即f(a)?2a?f(b)?2b?f(a)?f(b)a?b?2……11分
综上所述,当m = 1,且0?b?a?1时,4f(a)?f(b)3?a?b?2……12分
5、解：（Ⅰ）f(x)?x?lnx?f?(x)?x?1x?0?x?1 ∴f(x)在(0,1)上递减，在(1,??)上递增 ∴f(x)的极小值为f(1)?1 （Ⅱ）h(x)?x?alnx?1?a(x?1)[x?(1?a)]x ∴h?(x)?x2
①当a??1时，h?(x)?0，∴h(x)在(0,??)上递增
②当a??1时，h?(x)?0?x?1?a，∴h(x)在(0,1?a)上递减，在(1?a,??)上递增 （Ⅲ）先解区间?1,e?上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立
?h(x)?f(x)?g(x)?0在[1,e]上有解?当x?[1,e]时，h(x)min?0由（Ⅱ）知
①当a??1时，h(x)在[1,e]上递增，∴hmin?h(1)?2?a?0?a??2 ∴a??2 ②当a??1时，h(x)在(0,1?a)上递减，在(1?a,??)上递增
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