?2?2222xf(x)?y?yf(x)?x?2xf?xf??f?f???x?yx????设z?f?121?z?z???f2，则得xx?11?z??Cx2
3x代入条件得C?0?f(x)?3x，从而原积分变为
?L(yf2(x)?x)dx?(xf(x)?y)dy??L(9xy?x)dx?(332122??L9xydx?3xdy??9(3?x)x?3xdx??27x?1212?23?2?2五设D??(x,y)x2?y2?1，u(x,y)与v(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，
???u?u???v?v?F?v(x,y)i?u(x,y)j,G????x??y??i????x??y??j，且在D的边界曲线L（正
????向）上有u(x,y)?1,v(x,y)?y，证明 ??F?Gd????
D??F?Gd??D??[(ux?uy)v?(vx?vy)u]d?
D?????[(vux?uvx)?(vuy?uvy)]d????[(uv)?(uv)]d?
?x?yDD??uvdx?uvdy??ydx?ydy????d???? LLD
6
设
z?f(x,y)由方程xy?yz?e?xz?xz确定，
? z?y?ze??xzy?xe? x则。
高等数学II试题解答
一、填空题（每小题3分，共计15分）
?xz? z?y?ze??xz?xzy?xez?f(x,y)xy?yz?e? x1．设由方程确定，则。
23)向l?(4,0,-12) 2．函数u?2xy?z?xyz在点P0(0?,?1,沿2方
的方向导数最大。 22x2?y2ds8?x?y?4?3．L为圆周，计算对弧长的曲线积分L=。
234．已知曲线x?t,y?t,z?t上点P处的切线平行于平面x?2y?z?2，则
111(?,,?)点P的坐标为(?1,1,?1)或3927。
5．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(?1, 1]的定义为
?2?1?x?03f(x)???x0?x?1，则f(x)的傅里叶级数在x?1收敛于2。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）
1．设f(x, y)连续，交换二次积分
I??dx?012?x1?1?x2I??dx?012?x1?1?x2f(x,y)dy的积分顺序。
f(x,y)dyf(x,y)dx??dy?122?y0解：
??dy?011?(y?1)20f(x,y)dx
2．计算二重积分
围成的在第一象限内的区域。
D??x2?y2dxdy22yx?(y?1)?1所D，其中是由轴及圆周
? 解：
??Dx?ydxdy??2d??0222sin?0r2dr?169
2222z?x?yz?1?x?y?3．设是由球面与锥面围成的区域，试将三重
积分
解：
I????f(x2?y2?z2)dxdydz?化为球坐标系下的三次积分。
7
I????fx2?y2?z2dxdydz????2???d??d??fr2r2sin?dr000414．设曲线积分?L
[f(x)?ex]ydx?f(x)dy??与路径无关，其中f(x)具有一阶连
续导数，且f(0)?1，求f(x)。
xx[f(x)?e]ydx?fx(d)yQ??f(x)?P?[f(x)?e]y 解：，。由L与路径无关，
xx??Q?P??f(x)?f(x?)e?0y?y?exy得，即。解微分方程，得其通解
1111y?ce?x?exc?f(x)?e?x?ex2。又f(0)?1，得2。故22
?x???y?2y?y?e5．求微分方程的通解。
解：y???2y??y?0的通解为y?(c1?c2x)e。
*?x设原方程的一个特解y?ce，代入原方程，得
1y?(c1?c2x)ex?e?x4
2ydzdx?zdxdy?? 三、(10分)计算曲面积分?，其中∑是球面
xc?14。其通解为
x2?y2?z2?4(z?0)的上侧。
22?:z?0 (x?y?4)下侧。 1解：补上
??ydzdx?zdxdy?????2???1y2dzdx?zdxdy???y2dzdx?zdxdy..............2分?1????(2y?1)dxdydz?0............................................3分????2ydxdydz????dxdydz??16?16??.........................3分33
(x?y?z)dxdydz???22四、(10分)计算三重积分?，其中?由z?x?y与z?1围成的区域。 解：
对称性?0????(x?y?z)dxdydz?????xdxdydz????ydxdydz????zdxdydz...........................2分???对称性?0?0????zdxdydz??d??rdr?2zdz??00r2?11?3..............8分
8
22五、(10分)求z?x?y?1在y?1?x下的极值。
222解：z?x?(1?x)?1?2x?2x?2
11x?x?222。z???4?0，2为极小值点。故z?x?y?1令z??4x?2?0，得
113(,)在y?1?x下的极小值点为22，极小值为2。
22六、(10分)求有抛物面z?1?x?y与平面z?0所围立体的表面积。 22解：z?1?x?y (z?0)的面积为
S1???dS??2?100x2?y2?1??1?4x2?4y2dxdy.............4分??d??r1?4r2dr............................2分 ?(55?1)??6 平面z?0部分的面积为?。故立体的表面积为。
??(55?1)6...............1分xn?1?n七、(10分)求幂级数n?1n3的收敛区间与和函数。
???xn?1xnxn?11???s(x)(xs(x))?()???n??nn3?x。n?1n3n?13解：收敛区间为[?3,3)。设n?1n3，
?ln31x?0?x?xln(3?x)s(x)??1?x?03?故。
?
2001—2002高数2解答
一、填空（每题4分）
1．1．设z?f(u,v,w)具有连续的一阶偏导数，其中
?z??y?1y?f?0?f?ecose?f123?u?x2,v?siney,w?lny，则?yy
??222．2．设D域是x?y?1,在D较大的值是
1?x2?y2d?与
??D1?x4?y4d?两者中比
??D1?x2?y2d??0?03．3．设幂级数
?an(x?1)n的收敛域为（―4，2），则幂级数
9
nna(x?3)?n的收敛区间为（0 , 6）
d2y22?y?04．4．微分方程dx的通解是y?c1e2x2?c2e?2x2
二、试解下列各题（每题6分）
5．1．设f(x,y)是连续函数，改变二次积分
ay?0?adx?f(x,y)dy??dx?2f(x,y)dy?x0xaaa＝0?dy?f(x,y)dx?y
6．2．计算曲线积分?L(x2?y2)dx?2xydy。式中L由极坐标方程r?2?sin?所表示的曲线上从??0到
???2的一段。
?Q?P??2y?x?y解： 积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)
012?xdx??0dy??0 原积分＝283
222，其中?为球面x?y?z?1的外侧。
7．3．计算
333xdydz?ydzdx?zdxdy???解：由高斯公式，原积分＝
43x?y?zdv?3d?d?r??????sin?dr?v000?222?2??112?5
x???y?2y?3y?3x?1?e8．4．求微分方程的一个特解。 2r解：特征方程：?2r?3?0r1??1,r2?3
?y1?是y???2y??3y?3x?1的解,y2是y???2y??3y?ex的解y1??Ax?B,设
?y2?Cex用待定系数法确定出y1???x?1??1x,y2?e34。
?原方程的一个特解：y??y1??y2??x?11x?e34三、（8分） 设曲面为z?xe,M(x,y,z)是此曲面上一点，试证曲面在点M处
的法线与向径OM垂直。
yy???x??y?xn???e?1??,?e,1?,OM??x,y,z?,n?OM?0x????解：法线方向向量：故曲
yx
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