空间向量与立体几何 两年高考真题演练
1．如图，
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
(1)求证：MN∥平面ABCD； (2)求二面角D1－AC－B1的正弦值；
(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正1
弦值为3，求线段A1E的长．
2.
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE、DF、BD、BE.
(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；
πDC
(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3，求BC的值．
3．
如图，四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD. (1)求证：AB⊥PD；
(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．
考点25 空间向量与立体几何
一年模拟试题精练
1．已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD＝4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．
2
(1)如图(1)，若G为线段PD的中点，BE＝DF＝3，证明：PB∥平面EFG；
(2)如图(2)，若E, F分别为线段AB，CD的中点，DG＝2GP，试问：矩形ABCD内(包括边界)能否找到点H，使之同时满足下列两个条件，并说明理由．
(ⅰ)点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4； (ⅱ)GH⊥PD.
2．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD－A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB＝t，(0 (1)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B－A1C－D的值； (2)线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由． 3． 如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相1 垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝2AF，BC＝2AB，∠CBAπ ＝4，P为DF的中点． (1)求证：PE∥平面ABCD； (2)求平面DEF与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值．