需要添加符号系统：
m，从模板接受信息经过逆变换到图形矩阵的转换系数。 Xi yi 还有Pij1 Pij2
问题二
该问题是问题一的逆向过程，根据问题一得到的标定参数，利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。
由Radon 原理：
两维情况下Radon变换大致可以这样理解：一个平面内沿不同的直线（直线与原点的距离为??，方向角为θ）对??(??,??)做线积分，得到的像??(??,??)就是函数??(??,??)的Radon变换。也就是说，平面(??,??)的每个点的像函数值对应了原始函数的某个线积分。
在本题中，对于刚好照射在每一探测器上的X射线刚好对应于直线 ?? ，用X射线去照射模板或待检测物质，相当于在X射线对应的直线 ??上做线积分，由于r及??的不同，得到不同的??(??,??)，对应于所得到的接收信息。
对Radon变换简单理解如图1，
上图中，在直角坐标系??????中，?? ??,?? 为直线?? 上的点，由于??=????????θ，??=??????????，从而对每一 ??,?? ，图中直线?? 可表示为：
????????θ+??????????=??
沿直线 l 对f(x,y)做线积分，得Radon 变换公式为：
R r,θ = ?∞f x,y ds ，其中s= x2+y2
在本题中，Radon 变换可直观理解为：根据不同射线的入射方向，对位于待检测介质或模板内部的射线的衰减系数进行积分，可得待检测物质或模板的衰减函数R(r,θ)，如图2所示。
在二维平行束投影示意图中，射线目标信息为函数 f(x,y) ， θ为X 射线的法线与x轴夹角，r为射线AB与原点的距离。[1]
+∞
另，狄拉克 δ 函数是一个广义函数，在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布，该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1
为了便于理解及应用，我们写出一种最简单的狄拉克 δ 函数形式：
δ ?? =
0 ，??=0
1 ，??≠0
将此狄拉克 δ 函数应用到X射线所对应的直线??上，有
0 ，????????θ+?????????????=0?? ????????θ+????????????? =
1 ，????????θ+?????????????≠0
即在直线 l 上的点f(x,y)满足δ xcosθ+ysinθ?r =1，其他不在直线 l 上的点满足δ xcosθ+ysinθ?r =0。
此时，R r,θ 为探测器所接收到的信息，由上述论证，此时Radon 变换为：
?? ??,?? =
+∞
?? ??,?? ?? ????????θ+????????????? ????
?∞
Radon 变换可理解为某一二维图像在 r,θ 空间的投影， r,θ 空间的每一点对应(x,y)空间的一条直线方程。
补充：实际上，R r,θ 定义在空间中一个半圆柱体的侧面上，如图3。
Radon逆变换（Iradon）由投影后的R r,θ ，Radon逆变换可以求出原二维图像的几何形状及对X射线的吸收率等信息，即给出从投影到重建的解。具体表达式为：
?? ??，?? =
1????
???? ???? 2??20??????????+??????????????∞
??
∞
??(??,??)
根据上述数学原理，结合Matlab中Radon及Iradon函数进行求解。
（1）利用Matlab的Iradon工具箱。我们将512*180的接收信息矩阵，通过radon逆变换，以及平移图像中心，得到由五个椭圆组成的“外星人”状图像。颜色越浅“吸收率”越大。如图所示：
图x 附件三接收图
图x 附件三介质原始图像的几何形状
（2）图像在正方形托盘的位置确定。
由256*256个像素点的图像矩阵对应到100mm*100mm的正方形托盘，每一个像素点的长为0.3906mm，得到该未知介质在正方形托盘的位置信息，以正方形托盘中心为坐标原点(0,0)作图：
图x 附件三未知介质在正方形托盘的位置
（3）对应吸收率的确定。
首先根据附件二的模板接收信息，进行radon逆变换得到模板的图像信息，
寻找逆变换得到的图像信息与原始图像之间的平均比例关系m。
??????1??????1
m= 1≤i≤256,1≤j≤256,∈??
??????2??????2
用matlab求解m程序见附录1xxx。解得m = 2.0751，即从接收信息进行radon逆变换得到原始图像的真实“吸收率”为函数返回值的2倍。此时再读入附件三即未知介质的接收矩阵，通过乘以转换系数m再进行radon逆变换得到10个点的吸收率如下表（代码见附录2xxx）：
表xxx 问题二10个点的吸收率 吸收率 ???? ???? 10.0000 18.0000 0.0000 1 34.5000 25.0000 0.9803 2 43.5000 33.0000 0.0000 3 45.0000 75.5000 1.2445 4 48.5000 55.5000 1.0774 5 50.0000 75.5000 1.5241 6 56.0000 76.5000 1.3087 7 65.5000 37.0000 0.0000 8 79.5000 18.0000 0.0000 9 98.5000 43.5000 0.0000 10
问题三：
该问题同样是radon的逆变换，利用问题一中得到的标定参数，根据附件五的接收信息，给出该未知介质的相关信息。
我们首先根据之前的方法利用radon反变换得到图像：
图xxx 问题三未去噪得到的图形
此时发现图像有太多的毛刺，通过查阅资料得知图像受到噪声干扰影响，必须进行去噪操作。 由滤波反投影法（FBP）：
滤波反投影法根据附件三所给接收信息，采用先修正、后投影重建图像的做法，可得到原始图像的吸收率信息。其原理为：在得到某一角度下的投影函数（一