考点巩固训练12 函数与方程
一、选择题
1．设f(x)是连续的偶函数，且当x＞0时f(x)是单调函数，则满足方程f(x)＝f?
?x＋3?的所有
??x＋4?
x之和为( )．
A．－3 B．3 C．－8 D．8
2．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值范围是( )． A．(－1,1) B．[1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
??ln x＋2x－6，x>0，
3．函数f(x)＝?的零点的个数是( )．
?－x?x＋1?，x≤0?
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )． A．[－4，－2] B．[－2,0] C．[0,2] D．[2,4]
5．在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度要求是0.05，则取中点的次数是( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．函数f(x)＝ex＋2x－6(e≈2.718)的零点属于区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝( )． A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )．
2A．f(x0)＝0 B．f(x0)＜0
C．f(x0)＞0 D．f(x0)的符号不确定 二、填空题
x??2－1，x>0，
8．已知函数f(x)＝?2若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取
?－x－2x，x≤0，?
值范围是__________．
＋
9．(上海高考)方程4x－2x1－3＝0的解是__________．
10．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为__________．
三、解答题
11．判断方程3x－x2＝0的负实数根的个数，并说明理由． 12．(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4． ①有且仅有1个零点；
②有2个零点且均比－1大；
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
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参考答案
一、选择题
1．C 解析：据题意f(x)＝f?
?x＋3?，
??x＋4?
x＋3x＋3∴x＝或x＝－．
x＋4x＋4
∴x2＋3x－3＝0①或x2＋5x＋3＝0②． 设x1，x2为①的两根，x3，x4为②的两根， ∴x1＋x2＝－3或x3＋x4＝－5． 故所有根之和为－8．
2．C 解析：当a＝0时，函数的零点是x＝－1； 当a≠0时，若Δ＞0，f(0)·f(1)＜0，则a＞1；
1
若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，故选C．
8
3．D 解析：由题可知，当x＞0时，y＝ln x与y＝－2x＋6的图象有1个交点；当x≤0时，函数y＝－x(x＋1)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有3个零点．
4．A 解析：对于B，∵f(0)＝4sin 1＞0，
ππ－?＝4sin(－π＋1)＋ f??2?2πππ＝－4sin 1＜－4sin 226π
＝－2＜0， 2
∴在该区间上存在零点．
对于C，∵f(2)＝4sin 5－2＝4sin(5－2π)－2＜0，∴在该区间上存在零点． 对于D，∵f(3.5)＝4sin 8－3.5＝4sin(8－2π)－3.5＞0， ∴在该区间上也存在零点．
1
5．C 解析：设经过n次取中点，则n满足＜0.05，即2n＞20，由于24＝16＜20，25
2n
＝32＞20，故要经过5次取中点．
6．B 解析：令f(x)＝ex＋2x－6＝0，则ex＝6－2x，故函数f(x)的零点即是函数y1＝ex，y2＝6－2x的图象交点的横坐标．
在同一直角坐标系内分别作出y1＝ex，y2＝6－2x的图象，如图．
当x＝1时，y1＝e≈2.718，y2＝4，y1＜y2； 当x＝2时，y1＝e2≈7.4，y2＝2，y1＞y2，
故两函数图象交点的横坐标在区间(1,2)内，故n＝1． 7．B 解析：分别作出y＝2x与y＝log1x的图象如图，
2
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当0＜x0＜a时，y＝2的图象在y＝log1x图象的下方，
2x
所以，f(x0)＜0． 二、填空题
x??2－1，x>0，
8．(0,1) 解析：在坐标系内作出函数f(x)＝?2的图象，如下：
?－x－2x，x≤0?
发现当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有3个交点， 即函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．
9．log23 解析：原方程可化为(2x)2－2×2x－3＝(2x－3)(2x＋1)＝0，所以2x＝3，x＝log23．
3
10．(2,2.5) 解析：记f(x)＝x－2x－5， ∵f(2)＝－1＜0，
5?125
f(2.5)＝f??2?＝8－10＞0， ∴下一个有解区间为(2,2.5)． 三、解答题
11．解：设f(x)＝3x－x2，
2
∵f(－1)＝－＜0，f(0)＝1＞0，
3
又∵函数f(x)的图象在[－1,0]上是连续不断的， ∴函数f(x)在(－1,0)内有零点．
又∵在(－∞，0)上，函数y＝3x递增，y＝x2递减， ∴f(x)在(－∞，0)上是单调递增的． ∴f(x)在(－1,0)内只有一个零点．
因此方程3x－x2＝0只有一个负实数根．
12．解：(1)①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有1个零点?方程f(x)＝0有2个相等实根?Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，
∴m＝4或m＝－1．
Δ>0，??
②由题意，知?－m>－1，
??f(－1)>0，m－3m－4>0，??
即?m<1， ??1－2m＋3m＋4>0.
2
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∴－5＜m＜－1．
∴m的取值范围为(－5，－1)． (2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0， 即|4x－x2|＝－a．
令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a． 作出g(x)，h(x)的图象．
由图象可知，当0＜－a＜4，
即－4＜a＜0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点． 故a的取值范围为(－4,0)．
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