1、截断误差
在[a,b]区间上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x)，其截断误差是指
Rn?x??f?x??Ln?x? （4.1） 通常称Rn?x?为拉格朗日插值余额。
注意到利用公式（4.1）估计截断误差实际上非常困难。一是因为它要计算函数
f(x)的高阶导数，当f(x)很复杂时，计算量很大，而当f(x)没有可用来计算的
表达式时，导数无法准确计算；二是因为即使能得到高阶导数的解析式，但由于?的具体位置不知道，所以要估计高阶导数在插值区间上的界一般是非常困难的事情。因此，公式（4.1）并不实用。
2、截断误差的实用估计式
既然公式（4.1）估计误差时不实用，那么实际中如何估计截断误差呢？ 假设插值条件中包含n+2组数据
?,n,n?, 1 f(xi)?yi , i?0,1那么利用n+1组数据我们可以构造一个n次拉格朗日插值多项式Ln(x)，
利用后n+1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式L*n(x)。利用公式（4.1）知，他们各自的插值余项为
f(x)?Ln(x)?1f(n?1)(?)(x?x0)(x?x1)?(x?xn), (n?1)!1f(n?1)(?*)(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1), (n?1)!f(x)?L*n(x)?两式相减得
L*n(x)?Ln(x)?并可写成
1fn?1(?)(x?x1)?(x?xn)(xn?1?x0), (n?1)!L*(x)?Ln(x)1(n?1) f(?)(x?x1)?(x?xn)?n. （4.2）
(n?1)!xn?1?x0注意到上式中利用fn?1(?)?fn?1(?*).该条件在很多情况下是成立的。
利用式（4.2）可得
?Ln(x)?L*n(x)R(x)?f(x)?L(x)?,n?nx0?xn?1? ? （4.2） *?R*(x)?f(x)?L*(x)?Ln(x)?Ln(x),nn?xn?1?x0?式（4.3）给出了用Ln(x)或L*n(x)作近似计算时的实用误差估计式，它不需要计算高阶导数，也不用估计插值区间上高阶导数的界。
总之，拉格朗日插值法的公式结构紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，但插值点增加或减少时，所对应的基本多项式就得重新计算而且图像发生很大变化。像逐次线性插值法、牛顿插值法等都是在拉格朗日插值多项式的基础上延伸出来的。我们根据实际中的具体问题，为减少插值误差来选取相应的插值法来快速的解决问题。
五、参考文献
[1] 数值计算原理 李庆扬,关冶,白峰杉 清华大学出版社 2000.9 [2] 数值分析及其MATLAB实现 任玉杰 高等教育出版社 7007.3 [3] 数值分析与实验 韩旭里,万中 科学出版社 2006.7
[4] 数值分析（第三版）颜庆津 北京航空航天大学出版社 2011.8.15