2013年高考真题理科数学（解析版） 北京卷
2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京）卷
数学（理科）
一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的一项。
1．已知集合A???1,0,1?，B??x|?1?x?1?，则A?B?（ ） （A）?0?
（B）??1,0?
2 （C）?0,1?
（D）??1,0,1?
2．在复平面内，复数?2?i?对应的点位于（ ） （A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
3．“???”是“y?sin?2x???过坐标原点”（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） （A）1 （B）23 （C）1321 （D）610987 5．函数f?x?的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线
y?ex关于y轴对称，则f?x??（ ）
（A）ex?1 （B）ex?1 （C）e?x?1 （D）e?x?1
x2y2 6．若双曲线2?2?1的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）
ab（A）y??2x
（B）y??2x （C）y??x2 （D）y??2x2
2 7．直线l过抛物线C:x?4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围图形的面积等于（ ） （A）43
（B）2 （C）83
（D）1623
?2x?y?1?0? 8．设关于x,y的不等式组?x?m?0表示的平面区域内存在点P?x0,y0?，满足
?y?m?0?x0?2y0?2，求得m的取值范围是（ ）
（A）???,43? （B）???,13? （C）???,?23? （D）???,?53?
二．填空题：共6题，每小题5分，共30分。
9．在极坐标系中，点?2,?6?到直线?sin??2的距离等于_____。
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10．若等比数列?an?满足a2?a4?20，a3?a5?40，则公比
Bq?_______；前n项Sn?_____。
11．如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA?3，PD:DB?9:16，则PD?__________，AB?__________。
ODPA 12．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________。
??? 13．向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若
????c??a??b??,??R?，则?__________。
?E为 14．如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，
D1A1B1C1BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小
值为__________
PADBEC三．解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算
步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）在?ABC中，a?3，b?26，?B?2?A。⑴求cosA的值； ⑵求c的值。
16．（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天。⑴求此人到达当日空气重度污染的
概率；⑵设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；⑶由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
A1B1 17．（本小题共14分）如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AACC11C1是边长为4的正方形。平面ABC?平面AAC11C，AB?3，
BC?5。⑴求证：AA1?平面ABC；⑵求二面角A1?BC1?B1的
余弦值；⑶证明：在线段BC1上存在点D，使得AD?A1B，并求
CABBDBC1的值。
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18．（本小题共13分）设l为曲线C:y?lnx在点?1,0?处的切线。⑴求l的方程；⑵证x明：除切点?1,0?之外，曲线C在直线l的下方。
x2?y2?1上的三个点， O为坐标原点。 19．（本小题共14分）已知A,B,C是椭圆W:4⑴当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；⑵当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。
20．（本小题共13分）已知?an?是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an?1,an?2,???的最小值记为Bn，dn?An?Bn。⑴若?an?为
2,1,4,3,2,1,4,3,???，是一个周期为4的数列（即对任意n?N?，an?4?an），写出d1，d2，
d3，d4的值；⑵设d是非负整数，证明：dn??d的充分必要条件为?an?是公差为d的等差
数列；⑶证明：若a1?2，dn?1，则?an?的项只能是1或者2，且有无穷多项为1。
2013年普通高校招生全国统考数学试卷（北京卷）解答
一．BDACD BCC 二．9．1；10．2，2n?1?2；11．95，4；12．96；13．4；14．255
15．解：⑴由题
3263266??，即，故cosA?； sinAsin2AsinA2sinAcosA3⑵由⑴知sinA?1?cos2A?33，故cosB?cos2A?1?2sin2A?13，因此
sinB?1?cos2B?223，有sinC?sin?A?B??sinAcosB?cosAsinB?539，
所以c?asinCsinA?5。
16．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i?1,2,?,13），则P?Ai??113，且Ai?Aj???i?j?。⑴设B表示事件“此人到达当日空气重度污染”，则B?A5?A8，故
P?B??P?A5?A8??PAPA?5???8??213；
1⑵由题X?0,1,2，且P?X?2??PA?A?2A?1?1P??A2A31A?P??2P???A12???
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P?A13??413，P?X?1??P?A3?A6?A7?A11??413，
故X的分布列如右表P?X?0??1?P?X?1??P?X?2??513。所示，且X的数学期望EX?0?X 0 1 2 P 544 13131354412?1??2??； 13131313 ⑶从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大。
17．解：⑴由题AAC故AA1?AC。因平面ABC?平面AAC且AA111C为正方形，11C，垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1?平面ABC；
⑵由⑴知AA1?AC，AA且AB?3，BC?5，1?AB，
AC?4，故AB?AC，因此可以如图建立空间直角坐标系
则B?0,3,0?，AA?xyz，B1?0,3,4?，C1?4,0,4?。1?0,0,4?，
????????n?A1B?0设平面A的法向量为，则，即 BCn?x,y,z?????????11??n?A1C1?0??3y?4z?0z?3，取得n??0,4,3?。同理可得平面B1BC1?4x?0?????????m?n16的法向量为m??3,4,0?，故cosm,n?????。由题知二面角A1?BC1?B1为锐角，
|m||n|25所以二面角A1?BC1?B1的余弦值为1625；
?????????⑶设D?x,y,z?是直线BC1上一点，且BD??BC1，则?x,y?3,z????4,?3,4?，解得
????????????x?4?,y?3?3?,z?4?，故AD??4?,3?3?,4??。由AD?A1B?0可得??925。因????????此在线段BC1上存在点D，使得AD?A1B，此时BDBC1???925。
18．解：⑴设f?x??lnx1?lnx，则f??x??，故f??1??1，从而l:y?x?1； xx2 ⑵令g?x??x?1?f?x?，则除切点外曲线C在直线l下方等价于g?x??0?0?x?1?。
x2?1?lnx因g??x??1?f??x??，当0?x?1时显然g??x??0，故g?x?单调递减；当2xx?1时显然g??x??0，故g?x?单调递增。因此g?x??g?1??0，从而得证。
19．解：⑴由题B?2,0?，因OABC为菱形，故AC与OB互相垂直平分。设A?1,m?，
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代入椭圆方程可解得m??32。故SOABC?11|OB|?|AC|??2?2|m|?3； 22?x2?4y2?4⑵假设OABC为菱形，可设AC：y?kx?m?k?0,m?0?，由?可得
?y?kx?m?1?4k?x22?8kmx?4m2?4?0。设A?x1,y1?,C?x2,y2?，则
x1?x24km??，21?4k2y1?y2x?xm1m??4km?k?12?m?k??，故，因此。因M?,OM?222?221?4k4k?1?4k1?4k??1?k??????1，故AC与OB不垂直。矛盾。因此当点B不是W的顶点时，四边形OABC?4k?不可能是菱形。
20．解：⑴由题d1?d2?1，d3?d4?3；
⑵（充分性）因?an?是公差为d的等差数列，且d?0，故a1?a2???an??，因此（必要性）因dn??d?0?n?1,2,??，An?an，Bn?an?1，dn?an?an?1??d?n?1,2,??；故An?Bn?dn?Bn。又an?An，an?1?Bn，故an?an?1，于是an?An，an?1?Bn，即?an?是公差为d的等差数列；
⑶因a1?2，d1?1，故A1?a1?2，B1?A1?d1?1，故对任意n?1，an?B1?1。假设
?an??n?2?中存在大于2的项，设m为满足am?2的最小正整数，则m?2，且对任意
1?k?m，ak?2。又a1?2，故Am?1?2，且Am?am?2，于是Bm?Am?dm?2?1?1，
Bm?1?min?am,Bm??2，故dm?1?Am?1?Bm?1?2?2?0，与dm?1?1矛盾。所以对任意
n?1，an?2?a1。因此An?2，Bn?An?dn?2?1?1。从而对于任意正整数n，存在m满足m?n，且am?1，即数列?an?有无穷多项为1。
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