专题考案(2)数列板块 第1课 数列的概念和运算

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专题考案(2)数列板块 第1课 数列的概念和运算

(时间：90分钟 满分：100分)

题型示例

写出下面数列{an}的前5项: (1)a1=5,an=an-1+3(n≥2);

(2)a1=1,an=an-1+

1an?1(n≥2);

(3)a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3). 分析 运用递推公式的定义解题. 解 (1)5,8,11,14,17;(2)1,2,

529941,,;(3)1,1,2,3,5. 210290点评 递推公式揭示一个数列相邻的两项或n项之间的关系，解题时应注意充分挖掘和发现这种关系的特征.

一、选择题(7×4′＝28′)

1．下列说法正确的是 ( ) A．数列｛an｝是等比数列的充要条件是an+1=anq(n∈N) B．数列a、b、c是等比数列的充要条件是b2＝ac且abc≠0 C．等比数列｛an｝，当q>1时，是递增数列 D．任何两个实数都有等比中项

2．已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列，则a2等于 ( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.?-10

3．△ABC的三边a、b、c成等比数列，确定公比的取值范围是 ( )

1?5?1?5) B.(，+∞) 22?1?51?51?5C.(，) D.［1，］

222A．(0，

4．已知a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8为各项都大于零的数列，命题①a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8不是等比数列；命题②a1+a8

5．等差数列{an}中,公差d<0,n≥2时,前n项和为Sn,则有 ( ) A.Sn≥na1 B.Sn≤nan C.nan

6．一个小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第n次着地时，共经过了anm，n≥2，则有 ( )

100100A.an＝an-1+n?3 B.an＝an-1+n?2

221001001C.an＝an-1+n D.an＝an-1+n?2

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7．在等差数列{an}中,an≠0,an+1-a2n+an-1=0(n≥2),若S2n-1=38,则n的值是 ( ) A.38 B.10 C.20 D.9 二、填空题(4×3′＝12′)

8．若x≠y，两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y分别成等差数列，那么

a2?a1b3?b1＝ .

9．已知等差数列｛an｝，｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn，若

Sna2n?,则9 . Tn3n?1b910．设Sn为数列{an}的前n项和，“若Sn=an2+bn+c,则{an}为等差数列”是真命题，记该命题的

逆命题为P，否命题为Q，逆否命题为R，则P、Q、R中是真命题的有 个. 11．数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a5+a6+a7+a8 .(n∈N) 三、解答题(5×10′＝50′)

12．设函数f(x)=log2x-logx2(0

(1)求数列{an}的通项公式; (2)判定数列的单调性. 13．在

1和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积. n14．已知一个项数为偶数，首项为1的等比数列，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这

个等比数列的公比q及项数n. 15．数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=

(1)数列{

n?2Sn(n=1,2,3,?).证明： nSn}是等比数列; n(2)Sn+1=4an.

16．某工厂年度初借款A元，从该年度末开始，每年偿还一定金额x元，恰在n年内还清(包括借款的利息)，借款的年利率为r，求每年偿还的金额. 四、思考与讨论(10′)

17．对任意函数f(x),x∈D，可按图所示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；

②若x1?D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，

再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去．现定义f(x)=(1)若输入x0=

4x?2. x?149，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出数列{xn} 65的所有项(n∈N)；

(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据 x0的值；

(3)若输入x0时，产生的无穷数列{xn}满足：对任意正整数n，均有xn

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参考答案

1．B an=0时，A、D均可排除，当a1<0，q>1时｛an｝递减，排除C.

22．B ∵a1,a3,a4成等比数列,∴a3=a1·a4,∴(a2+2)2=(a2-2)(a2+4),∴a2=-6.

3．C 设三边为a，aq,aq2，若0a.

?1?51?51，则a+aq>aq2，此时1

224．D 假设数列为等比数列,公比为q,则(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1-q3)(1-q4)≥0,故②?①； 假设数列为等差数列，则a1+a8=a4+a5,故①②,选D. 5．C ∵d<0,∴a1>a2>a3>?>an,∴na1>Sn>nan.

16．B an＝100+50×2+25×2＋?+100×()n-1×2(n≥2)

2150(1?n?1)12＝100+2×＝300-200×n?1，

121?2∴

∴an-an-1＝200(

12n?2-

12n?1)＝

200100100?，即a＝a＋. nn-1n?1n?2n?222227．B ∵{an}为等差数列,∴an+1-a2n+an-1=2an-an=0.又an≠0,∴an=2.

故等差数列每项均为2,则S2n-1=38=19×2.即2n-1=19,n=10.故选B.

1a?a1dy?xy?xy?x22?,d2?,而2?1?3?. 8． d1＝

4?134b3?b12d2133217(a1?a17)aS2?173417172?17???9． 9?. 26b917(b1?b17)T173?17?15226210．3 逆命题“若{an}为等差数列，则Sn=an2+bn+c”为真命题，由四种命题原命题与逆否命题

等价，逆命题与否命题等价，有P、Q、R都为真命题. 11．52 a5+a6+a7+a8=S8-S4=72-20=52． 12．解 (1)由已知得,f(x)=log2x-

1, log2x∴f(2an)=log22an-

11a

=log2n-2=a-=2n, log2n

(2an)anlog22an3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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2a2n-2nan-1=0,解之得an=n±n?1,因为0

所以0<2an<1,an<0,故an=n-n2?1(n∈N*);

n?(n?1)2an?1(n?1)?(n?1)2?1??(2)因为<1,

22ann?(n?1)n?1?(n?1)?1而an<0(n∈N),所以an+1>an,故{an}是单调递增数列.

点评 运用函数与数列的关系解题，是高考中常考的一个知识点，要认真体会. 13．解 n+1＝

1n+1n+1

qq＝n(n+1). n1设n个数之积为p,则p＝()nq·q2·q3·?·qn，

n11＋＋?

∴p＝()nq12+n＝()n·qnn14．解 a2+a4+?+a2n＝170 ①

a1+a3+?+a2n-1＝85 ②

n(n?1)2n1n?()?n(n?1)?2. n1?(1?2n)①÷②得q＝2，Sn＝＝255，∴2n＝256，n=8.

1?215．分析 （1）将已知递推关系式中an+1用Sn＋1－Sn表示，将其化为只含有和的关系式求解.

(2)由（1）和已知结合，通过构造法即可得证.

n?2证明 （1）∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得:nSn+1=2(n+1)Sn,

n所以

Sn?1n?1?2Sn?S,故?nn?n=4·

??是以2为公比的等比数列. ?(n≥2).

(2)由(1)知

Sn?1n?1Sn?1n?1=4an(n≥2). n?1又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4.

因此对于任意正整数n≥1,都有Sn+1=4an.

点评 本题求证结论含有Sn,一般先用an+1=Sn+1-Sn公式把题中所给的关系式化为Sn的递推关系，这是本题一个灵活之处，考查了同学们的灵活运用所学知识的能力，而第二问又考查了分析问题的推理能力. 16．解 第一年年末欠款为A(1+r)-x，第二年年末欠款为［A(1+r)-x］(1+r)-x＝A(1+r)2-［x(1+r)+1］，?

第n年年末欠款A(1+r)n-x［（1＋r）n-1+(1+r)n-2+?+(1+r)+1］， 由题意得A(1+r)n-x［(1+r)n-1+(1+r)n-2+?+(1+r)+1］＝0，

于是Sn+1=4(n+1)·

Sn?11?(1?r)nAr(1?r)n∴A(1+r)=x·，∴x=. n1?(1?r)(r?1)?1n

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17．解 (1)∵f(x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞)．

494911时，x1=f(x0)=f()=∈D． 6565191同理求得x2=f(x1)=∈D，x3=f(x2)=-1?D．

5111∴数列{xn}只有三项:，，-1.

1954x?2(2)由f(x)=x，即=x,∴x2-3x+2=0，得x=1或x=2.

x?1当x0=

∴当x0=1或x0=2时，xn+1=

4xn?2=xn．

xn?1因此，当x0=1时，xn=1；当x0=2时，xn=2,n∈N． (3)解不等式x<

4x?2,得x<-1或14;x3=f(x2)<4

x?1x?1∵对任意正整数n均有xn

若1x1，且1

依此类推，可得数列{xn}的所有项均满足xn+1>xn， 由1

4x0?2<2得x0∈(1,2)即为所求x0的取值范围．

x0?13eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！