一、计算题与证明题
1．已知|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0． 计算a?b?b?c?c?a． 解：因为|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0 所以a与b同向，且a?b与c反向 因此a?b?0，b?c?0，c?a?0 所以a?b?b?c?c?a?0
2．已知|a?b|?3, |a?b|?4, 求|a|?|b|． 解：|a?b|?a?bcos??3 （1）
|a?b|?a?bsin??4 （2）
2(1)2??2?得?a?b??25
2所以 a?b?5
4．已知向量x与a(,1,5,?2)共线, 且满足a?x?3, 求向量x的坐标． 解：设x的坐标为?x,y,z?，又a??1,5,?2?
则a?x?x?5y?2z?3 （1） 又x与a共线，则x?a?0 即
??yzxyxyxyz?i?j?k5?21?215
15?2???2y?5z?i??z?2x?j??5x?y?k?0所以
ijk??2y?5z?2??z?2x?2??5x?y?2222?0
即29x?5y?26z?20yz?4xz?10xy?0 （2） 又x与a共线，x与a夹角为0或?
cos0?1?x?ax?y?z?1?5???2?222222222?3x?y?z?30222
整理得 x?y?z?3 （3） 10?2?、?3?解出向量x的坐标为?联立?1?、?111?,,?? 1025??6．已知点A(3,8,7), B(?1,2,?3)求线段AB的中垂面的方程． 解：因为A?3,8,7?,B(?1,2,?3)
AB中垂面上的点到A、B的距离相等，设动点坐标为M?x,y,z?，则由MA?MB得
?x?3?2??y?8?2??z?7?2化简得2x?3y?5z?27?0
??x?1?2??y?2?2??z?3?2
这就是线段AB的中垂面的方程。
7．向量a, b, c具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a, b的坐标分别为
(1,1,0)和(0,1,1), 求向量c的坐标．
解：a?b?c?r且它们两两所成的角相等，设为? 则有a?b?1?0?1?1?0?1?1 则cos??a?b1?2 a?br设向量c的坐标为?x,y,z?
则a?c?1?x?1?y?0?z?x?y?a?bcos??r?r?1?1 （1） r2b?c?0?x?1?y?1?z?y?z?b?ccos??r?r?1?1 （2） r2c?x2?y2?z2?r?12?12?02?2
所以x?y?z?2 （3）
2221?x???3x?1??4??联立（1）、（2）、(3)求出?y?0或?y?
3?z?1??1?z???3?所以向量c的坐标为?1,0,1?或??,,??
8．已知点A(3,6,1), B(2,?4,1), C(0,?2,3), D(?2,0,?3)， (1) 求以AB, AC, AD为邻边组成的平行六面体的体积．
(2) 求三棱锥A?BCD的体积．
?14?331?3?(3) 求?BCD的面积．
(4) 求点A到平面BCD的距离．
解：因为A?3，0，1?，B?2,?4,1?,C?0,?2,3?,D??2,0,?3? 所以AB???1,?10,0?
AC???3,?8,2? AD???5,?6,?4?
（1）AB,AC,AD是以它们为邻边的平行六面体的体积
???1?10V??3?5?8?602??3?100?0??0?120?12??176 ?4（2）由立体几何中知道，四面体ABCD（三棱锥A?BCD）的体积
1188VT?V??176?
663（3）因为BC???2，2，2?，BD???4，4，?4?
i BC?BD??2jk22??16i?16j?0k
?44?4
所以BC?BD?因此S?BCD???16?2???16?2?162，这是平行四边形BCED的面积
11S□BCED??162?82 22(4)设点A到平面BCD的距离为H，由立体几何使得三棱锥A?BCD的体积
1VT?S?BCD?H
3所以H?3VTS?BCD883?11?112 ?28223?1．求经过点A(3,2,1)和B(?1,2,?3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程． 解：与xoy平面垂直的平面平行于y轴，方程为
Ax?Cz?D?0 (1)
把点A?3，2，1?和点B??1，2，?3?代入上式得
3A?C?D?0 (2) ?A?3C?D?0 (3)
DD 由（2），（3）得A??,C?
22DDz?D?0 代入（1）得?x?22 消去D得所求的平面方程为
x?2?z?0
xyz??1距离相等的点的轨迹方程． 2．求到两平面?:3x?y?2z?6?0和?:?2?51解；设动点为M?x,y,z?，由点到平面的距离公式得
3z?y?2z?63???1??2222??5x?2y?10z?10??5?2?2???10?22
所以3x?y?2z?6??14129??5x?2y?10z?10?
3．已知原点到平面?的距离为120, 且?在三个坐标轴上的截距之比为?2:6:5, 求? 的方程．
解：设截距的比例系数为k，则该平面的截距式方程为
xyz???1 ?2k6k5k 化成一般式为?15x?5y?6z?30k?0 又因点O?0,0,0?到平面?的距离为120，则有
?30k??15?求出k??4286
2?5?622?120
所以，所求平面方程为?15x?5y?6z?120286?0
5．已知两平面?:mx?7y?6z?24?0与平面?:2x?3my?11z?19?0相互垂直，求m的值．
解：两平面的法矢分别为n1??m,?1,?6?，n2??2,?3m,11?，由n1⊥n2，得
2m?21m?66?0
求出m??66 196．已知四点A(0,0,0), B(,2,?5,3), C(0,1,?2), D(2,0,7), 求三棱锥D?ABC中ABC