六、数列（必修五）
1.（2012年朝阳二模理14）在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为ai,j，且满足a1,j?2j?1,ai,1?i，
第1行 1 2 4 8 …
ai?1,j?1?ai,j?ai?1,j(i,j?N?)，则此数表中的第5行第 第2行 2 3 5 9 …
3列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13， 22， ??? 为数列{bn}，则数列{bn}的通项公式为 . 答案：16，an?2n?1第3行 3 5 8 13 …
?n?1
?2.（2012年丰台二模理18）已知数列{an}满足a1?4，an?1?an?p?3n?1(n?N，p为常数)，a1，a2?6，a3成等差数列．（Ⅰ）求p的值及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列
4n2{bn}满足bn?，证明：bn?．
9an?n解：（Ⅰ）因为a1?4，an?1?an?p?3n?1，
所以a2?a1?p?31?1?3p?5；a3?a2?p?32?1?12p?6． 因为a1，a2?6，a3成等差数列，
所以2(a2?6)=a1+a3， 即6p?10?12?4?12p?6， 所以 p?2． 依题意，an?1?an?2?3n?1， 所以当n≥2时，a2?a1?2?31?1，
a3?a2?2?32?1，
……
an?1?an?2?2?3n?2?1， an?an?1?2?3n?1?1．
相加得an?a1?2(3n?1?3n?2???32?3)?n?1，
3(1?3n?1)?(n?1)， 所以 an?a1?21?3所以 an?3n?n．
当n=1时，a1?31?1?4成立， 所以 an?3n?n． ………8分 （Ⅱ）证明：因为 an?3n?n，
n2n2所以 bn?n?n．
(3?n)?n3(n?1)2n2?2n2?2n+1*?=因为 bn?1?bn?，(n?N)． n+1nn?1333若 ?2n+2n?1?0，则n?又因为 b1?所以bn?21?3，即 n?2时 bn?1?bn． 214，b2?， 394． ………13分 93.（2012年昌平二模理20）实数列a0,a1,a2,a3?，由下述等式定义
（Ⅱ）求依赖于a0和an?1?2n?3an,n?0,1,2,3,?.（Ⅰ）若a0为常数，求a1,a2,a3的值；（Ⅲ）求a0的值，使得对任何正整数n总有an?1?an成立. n的an表达式；
解：（Ⅰ）a1?1?3a0,a2??1?9a0,a3?7?27a0 … 2分
an?1an2n（Ⅱ）由an?1?2?3an,得 … 3分 ??n?1nn?1(?3)(?3)(?3)nan2n令bn?，所以bn?1?bn?
(?3)n(?3)n?1所以bn?b1?(b2?b1)?(b3?b2)???(bn?bn?1)
222232n?1 ?b1??????234n(?3)(?3)(?3)(?3)1222?b1?(?)[(?)?(?)2???(?)n?1]
333322(?)(1?(?)n?1)2213?b1?(1?(?)n?1), … 6分 ?b1?(?)3215331?(?)3所以
ana122n?1??(1?(?)) … 7分 (?3)n?3153所以an?a1?(?3)n?1?22[(?3)n?3?2n?1]?(1?3a0)(?3)n?1?[(?3)n?3?2n?1] 15151?[2n?(?1)n?1?3n]?(?1)n?3n?a0 …… 8分 5（Ⅲ）
11an?1?an?[2n?1?(?1)n?3n?1]?(?1)n?1?3n?1?a0?[2n?(?1)n?1?3n]?(?1)n?3n?a0
5511??2n?(?1)n?4?3n(?a0) 55112n1n所以n(an?1?an)?()?(?1)?4?(?a0) …… 10分
353512n如果?a0?0，利用n无限增大时，()的值接近于零，对于非常大的奇数n，有
531an?1?an?0；如果?a0?0，对于非常大的偶数n，an?1?an?0，不满足题目要求.
511n1当a0?时，an?1?an??2,于是对于任何正整数n，an?1?an，因此a0?即为所
555求. …… 13分
4.（2012年海淀二模理15）已知公差不为０的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a4+6，且a1,a4,a13成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{公式.
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d10.
因为S3=a4+6， 所以3a1+1}的前n项和Sn3创2d=a1+3d+6. ① ………………………3分 2因为a1,a4,a13成等比数列，
所以a1(a1+12d)=(a1+3d). ② ………………5分 由①，②可得：a1=3,d=2. ………………6分
2所以an=2n+1. ……………7分
（Ⅱ）由an=2n+1可知：Sn=所以
(3+2n+1) n=n2+2n.…9分
211111==(-). …………………11分 Snn(n+2)2nn+211111 +++?++S1S2S3Sn-1Sn所以
=11111111111(-+-+-+?+-+-) 2132435n-1n+1nn+2111113n2+5n. =(+--)=212n+1n+24(n+1)(n+2)13n2+5n所以数列{}的前n项和为. ……13分
Sn4(n+1)(n+2)