2013年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】
数学【理科】逐题详解
参考公式:台体的体积公式V?积,h表示台体的高.
1S1?S1S2?S2h,其中S1,S2分别是台体的上、下底面3??一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
221、设集合M?x|x?2x?0,x?R,N?x|x?2x?0,x?R,则M?N?( )
???
?A . ?0? B、?0,2? C、??2,0? D、??2,0,2?
2、定义域为R的四个函数y?x3,y?2x,y?x2?1,y?2sinx中,奇函数的个数是( )
A . 4 B、3
C、2
D、1
D、?4,2?
3、若复数z满足iz?2?4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是( )
A . ?2,4? B、?2,?4? 4、已知离散型随机变量X的分布列为
C、?4,?2?
X P
1
3 5 C、
2 3 103 1 101 22正视侧视
则X的数学期望EX? ( )
A .
3 B、2 25 D、3 2
5、某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )
A . 4 B、
14 316C、 D、6
36、设m,n是两条不同的直线,?,?是两个不同的平面,
下列命题中正确的是( )
A . 若???,m??,n??,则m?n C、若m?n,m??,n??,则???
1 1 俯视第5题图
B、若?//?,m??,n??,则m//n D、若m??,m//n,n//?,则???
7、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F?3,0?,离心率等于
3,在双曲线C的方程是 2x2y2??1 A . 45x2y2x2y2x2y2?1 B、??1 C、??1 D、?2452558、设整数n?4,集合X??1,2,3,?,n?.令集合
S???x,y,z?|x,y,z?X,且三条件x?y?z,y?z?x,z?x?y恰有一个成立?
若?x,y,z?和?z,w,x?都在S中,则下列选项正确的是( )
A . ?y,z,w??S,?x,y,w??S
B、?y,z,w??S,?x,y,w??S
C、?y,z,w??S,?x,y,w??S
D、?y,z,w??S,?x,y,w??S
开始 输入n i?1,s?1 二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)
9、不等式x2?x?2?0的解集为___________、
10、若曲线y?kx?lnx在点?1,k?处的切线平行于x轴,则k?______. 11、执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为______. 12. 在等差数列?an?中,已知a3?a8?10,则3a5?a7?_____.
i?n是 否 ?x?4y?4?13. 给定区域D:?x?y?4,令点集T?{?x0,y0??D|x0,y0?Z,?x0,y0?
?x?0?是z?x?y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定______ 条不同的直线.
输出s 结束 s?s??i?1?i?i?1 第11题图 【二】选做题【14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分】
??x?2cost14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为?(t为参数),C??y?2sint在点?1,1?处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_____________.
15. (几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上, 延长BC到D使BC?CD,过C作圆O的切线交AD于E.若
A E
O AB?6,ED?2,则BC?_________.
. B D C
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 16、【本小题满分12分】
已知函数f(x)?(Ⅰ) 求f??第15题图
???2cos?x??,x?R.
12??3????3??cos??的值； (Ⅱ) 若,??,2????,求
562???????f?2???、
3??17、【本小题满分12分】
1 7 9
2 0 1 5
某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,
其中茎为十位数,叶为个位数.
(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.
3 0
第17题图
根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；
(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 工人的概率.
18、【本小题满分14分】
如图1,在等腰直角三角形ABC中,?A?90?,BC?6,D,E分别是AC,AB上的点,CD?BE?2, O为BC的中点.将?ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A??BCDE,其中
A?O?3.
D C
O . E B
A?
C
A 图1
D O E 图2
B (Ⅰ) 证明:A?O?平面BCDE；
(Ⅱ) 求二面角A??CD?B的平面角的余弦值.
19、【本小题满分14分】
设数列?an?的前n项和为Sn.已知a1?1,(Ⅰ) 求a2的值；
(Ⅱ) 求数列?an?的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n,有
2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*. n331117?????. a1a2an420、【本小题满分14分】
已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为
32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. 2(Ⅰ) 求抛物线C的方程；
(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程； (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.