第八章 不定积分
§1不定积分概念与基本积分公式
1．验证下列等式
（1）
?f?(x)dx??f(x)?C （2）?df(x)?f(x)?C
证明 （1）因为f(x)是f?(x)的一个原函数，所以（2）因为du?u?C, 所以df(x)?f(x)?C.
?f?(x)dx?f(x)?C.
?2．求一曲线y?f(x), 使得在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率为2x, 且通过点(2,5).
解 由导数的几何意义, 知f?(x)?2x, 所以f(x)??f?(x)dx??2xdx?x2?C. 于是
知曲线为y?x2?C, 再由条件“曲线通过点(2,5)”知，当x?2时，y?5, 所以有
5?22?C, 解得C?1, 从而所求曲线为y?x2?1
x2sgnx是|x|在(??,??)上的一个原函数. 3．验证y?2x2x2证明 当x?0时, y?, y??x; 当x?0时, y??, y???x; 当x?0时, y的导数
22?x(x2)sgnx?0xsgnx??lim?0, 所以y???0为limx?0x?0x2??x?2x?0x?0?|x| x?0
4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？
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解 由P.122推论3的证明过程可知：在区间I上的导函数f?，它在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。
5．求下列不定积分
x2x4⑴?(1?x?x?)dx??1dx??xdx??xdx??xdx?x???3x3?C
324x2313?2311x34222⑵?(x?)dx??(x?2x?)dx??x?ln|x|?C
x33x1⑶
123?dx2gx?12g?xdx??1212g?2x?C?122x?C g⑷
xx22xx2xxxx(2?3)dx?(2?2(2?3)?3)dx?(4?2?6?9)dx ???4x2?6x9x????C ln4ln6ln9⑸
?34?4x2dx?313dx?arcsinx?C ?221?x2x2x2?1?1111⑹ ?dx?dx?(1?)dx?(1?arctanx)?C 222??333(1?x)3(1?x)1?x⑺ ⑻
?tan2xdx??(sec2x?1)dx?tanx?x?C
2?sinxdx??1?cos2x111dx??(1?cos2x)dx?(x?sin2x)?C 2222cos2xcos2x?sin2xdx??dx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C ⑼ ?cosx?sinxcosx?sinxcos2xcos2x?sin2x11dx?dx?(?)dx??cotx?tanx?C ⑽?222222??cosx?sinxcosx?sinxsinxcosx(10?9)t90t⑾ ?10?3dt??(10?9)dt??C??C
ln(10?9)ln90t2tt 153
⑿
?8xxxdx??xdx?x8?C
157815⒀
?(1?x1?x1?x1?x2?)dx??(?)dx??dx?2arcsinx?C
2221?x1?x1?x1?x1?x⒁
2(cosx?sinx)dx???(1?sin2x)dx??1dx??sin2xdx?x?12cos2x?C
111(cos3x?cosx)dx?(sin3x?sinx)?C ?22313x1?3xx?x33xx?x?3xx?x?C ⒃ ?(e?e)dx??(e?3e?3e?e)dx?e?3e?3e?e33⒂
?cosxcos2xdx?
§2换元积分法与分部积分法
1．应用换元积分法求下列不定积分：
11cos(3x?4)d(3x?4)?sin(3x?4)?C 3?312x212x22x22?C ⑵ ?xedx??ed(2x)?e44dx1d(2x?1)1???ln|2x?1|?C ⑶ ?2x?122x?121nn(1?x)n?1?C ⑷ ?(1?x)dx??(1?x)d(1?x)?n?1⑴
?cos(3x?4)dx?⑸
?(13?x2?11?3x2)dx??123?x1?3xx1?arcsin?arcsin3x?C33dx?1?312)d3x
⑹
?22x?312x?322x?322x?2dx??2d(2x?3)??C??C
22ln2ln2133⑺
??1?12?2228?3xdx?(8?3x)d(8?3x)??(8?3x)?C?(8?3x)2?C ?3339154
⑻
?3??1?13?333?(7?5x)d(7?5x)??(7?5x)?C?(7?5x)3?C ?552107?5xdx122⑼
2xsinxdx??11222sinxdx??cosx?C ?22)11?4⑽ ?????cot(2x?)?C ??224sin2(2x?)sin2(2x?)44xddxdx2?tanx?C ⑾ 解法一： ?????xx1?cosx22cos2cos222dx(1?cosx)dxdxcosxdx????解法二： ??sin2x?sin2x 1?cosx1?cos2xdsinx1??cotx????cotx??C
sinxsin2xdx⑿解法一：利用上一题的结果，有
d(2x??d(?2?x)dx1??x????tan(?x)?C??tan(?)?C ?1?sinx??22421?cos(?x)2dx(1?sinx)dxdxdcosx1?????tanx??C 解法二： ??cos2x?cos2x1?sinxcosx1?sin2x解法三：
dxdxdx???1?sinx?(sinx2?cosx2)2?cos2x2?(tanx2?1)2 ?2?dtanx2?2??C 2tanx2?1(tanx2?1)⒀ 解法一：cscxdx?sec(?2?x)dx??sec(?2?x)d(?2?x)
?????ln|sec(?2?x)?tan(?2?x)|?C??ln|cscx?cotx|?C
解法二：cscxdx??1sinxdcosx1cosx?1dx?dx???sinx?sin2x?cos2x?12lncosx?1?C
?ln|cscx?cotx|?C
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cscx(cscx?cotx)??cscx?cotxdx
d(cscx?cotx)????C??ln|cscx?cotx|?C
cscx?cotxx解法四：sin12cscxdx?dx????2xxdx xx2sincos2sincos22221xxx???dcot??ln|cot|?C?ln|tan|?C
x222cot2解法三：cscxdx?⒁
?x1?x2dx??1122d(1?x)??1?x?C ?221?xx111x22⒂ ?dx??dx?arctan?C
24?(x2)2424?x4⒃
dxdlnx??xlnx?lnx?ln|lnx|?C
x4?11115⒄ ?dx?d(1?x)??C 535352?510(1?x)(1?x)(1?x)x3114dx?dx⒅ ?84?(x4)2?2x?2?11x?21x?2?ln|4|?C?ln|4|?C422x?282x?244
⒆
dx11x?(?)dx?ln|x|?ln|1?x|?C?ln||?C ?x(1?x)?x1?x1?x⒇
?cotxdx???cos5cosxdx?ln|sinx|?C sinx(21)
xdx??cos4xcosxdx??(1?sin2x)2dsinx
21??(1?2sin2x?sin4x)dsinx?sinx?sin3x?sin5x?C
35dxd(2x)???ln|csc2x?cot2x|?C (22) 解法一：?sinxcosxsin2x
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