2013最有影响力高考复习题（数学）9（3+3+4）
一、选择题
1、在棱长为１的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去８个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ( )?B ?A.
6542 B. C. D.?? 76532、若{an}是等差数列，首项a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 ( )?B ?A.4005 B.4006 C.4007 D.4008?
3、若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定:当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是?（ ）A?
?A?27 B?26 C?9 D?8??
二、?填空题：
4、若直线y=2a与函数y=|ax-1|（a>0，a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是 .?
5、 如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1，C1D1，D1，D的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足
条件 时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.?
6、在袋里装30个小球，其彩球中有n(n≥2)个红球，5个蓝球，10个黄球，其余为白球.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球（无白色）的概率是
13，红球的个数 ，从袋中任取3个小球至少有一个是红400球的概率是 。 .
三、解答题：
7、如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA=1.? (1)问BC边上是否存在Q，便得PQ⊥QD，并说明理由；?（2）若BC边上有且只有一点Q，使得PQ⊥QD， 求这时二面角Q—PD—A的大小
8、校明星篮球队就要组建了，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选
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手.选拔过程中每人最多投篮5次，若投中了3次则确定为B级，若投中4次以上则可确定为A级，已知高三（1）班阿明每次投篮投中的概率是
1.? 2(1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率；?
（2）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.?
349、已知?为第二象限的角，sin??,?为第三象限的角，tan??.
53???)的值. （I）求tan( （II）求cos(2???)的值.
10、已知函数f(x)?lnx?2x?. x?44⑴求函数f(x)的定义域和极值;
2⑵若函数f(x)在区间??a?5a,8?3a??上为增函数,求实数a的取值范围.
⑶函数f(x)的图象是否为中心对称图形?若是请指出对称中心,并证明;若不是,请说明理由.
四、9答案：
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1、【解答】设每个三棱锥的体积为V′，则剩下的凸多面体的体积是V=1-8V?，
11111115V′=????? ∴V=1-8V′=1-×8=.
22223484862、【解答】∵a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a2004<0，且{an}为等差数列.?
∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004?是绝对值最大的负数（第一个负数），且|a2003|>|a2004|,? ∵在等差数列{an}中，a2003+a2004=a1+a4006>0，S4006=∴使Sn>0成立的最大自然数n是4006.?
4006(a1?a4006)>0.?
23、【解答】由于A={a1，a2，a3}=A1∪A2，以A1为标准分类.?
0A1是，则A2={a1，a2，a3}，这种分拆仅一种，即?C3·C33=1;?
如A1为单元素集，有C13种可能,对其中每一种，例如A1={a1}，由于必有a1，a3∈A2，且a1∈A2或a1?A2都符合条件. 这种分拆有?C1C2=6种.? 3·
2如A1为双元素集，有C3种可能,对其中每一种，不妨设A1={a1，a2}，则必a3∈A2，此外对a1，2a2可以不选，选1个或全选，有22=4种选法，这种分拆共有?C3·4=12种.?
1若A1为三元素集，则A2可以是{a1，a2，a3}的任何一个子集，故这种分拆有23种. 于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆.?
x?x?a?1?4、【解答】函数y=|a-1|=?x?x?1?a?x
?0?0，其图象由y=|ax|（a>0，a≠1）的图象下移一
个单位得到.如图，当a>1时，直线y=2a与y=|ax-1|(a>0，a≠1)的图象仅一个交点； 当0
时，当且仅当0<2a<1时，直线y=2a与y=|ax-1|（a>0，a≠1)的图象有两个公共点，解得a∈(0，
1) 25、【解答】显然HN∥BD，即
得HN∥平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥M，只需过HN作平面，使之平行于平面B1BDD1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.?
证：连FH，当点M在HF
上运动时，恒有MN∥平面B1BDD1
证明如下：连NH，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P. 则NH∥BD，HF∥BB1，故平面PNHF∥平面B1BDD1. MN平面PNHF，∴MN∥平面B1BDD1.??
26、【解答】取3个小球的方法数为C30=4060.?
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设“3个小球全是红球”为事件A，“3个小球全是蓝球”为事件B，“3个小球全是黄球”为事
3C3C10101205件C，则P(B)=3?，P(C)=3?.?
C304060C304060∵A、B、C为互斥事件，∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).? 即
1310120?P(A)=0.?∴红球的个数≤2，又∵n≥2，故n=2.? =P(A)++
40604060406记“3个小球至少有一个是红球”为事件D，则D?为“3个小球没有一个红球”.?
C32828P(D)=1-P(D)=1?3.? ?C301457、【思考】 这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求
的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ⊥QD，∵PA⊥面ABCD，只需满足AQ⊥QD即可，再转化到在平面ABCD上寻求AQ⊥QD的条件，从而使问题得到解决.?
【解答】 （1）连结AQ，∵PA⊥面ABCD.?
∴要使PQ⊥QD，只要AQ⊥QD，即以AD为直径的圆与BC有公共点.? 这就是说，当AD≥2AB，即a≥2，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD.? (2)∵当a>2时，以AD为直径的圆与BC有两个交点.?
当a=2时，只有BC的中点满足条件.?∴AD=2，Q为BC的中点，取AD的中点M，连结QM.?
∵面PAD⊥面ABCD，QM⊥AD，∴QM⊥面PAD.?过M作MN⊥PD于N，连结NQ.? 根据三垂线定理有，QN⊥PD.?∴∠MNQ就是二面角Q—PD—A的平面角.? 在Rt△QMN中，QM=1，MN=MD·sin∠MDN=1×
55. ∴tan∠MNQ=5.? ?55∴二面角Q—PD—A为arctan5.?
8、【解答】(1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次
1113必投中的概率，其概率为P=C23·（）2··=.?
22216(2)若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围，该事件可分为下列几类：? ①5次投中3次，有C24种可能投球方式，其概率为：P（3）=C24·（
153）=；? 216②投中2次，其分别有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4类投球方式，其概率为：P（2）=（
1415）+3·（）5=；? 2232③投中1次，其分别有“中否否”、“否中否否”2类投球方式，? 其概率为：P（1）=（
1313）+（）4=；? 2216121）=，? 24④投中0次，其仅有“否否”一种投球方式，其概率为：P（1）=（
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∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)=
353125+++ =.? 163216432342，所以，cos???1?sin???， 559、【解答】（I）解：因为α为第二象限的角，sin??tan??sin?34tan??tan?7??. 又tan??，所以，tan(???)??. cos?431?tan??tan?24443，所以，sin???,cos???. 355247,cos2??1?2sin2??又sin2??2sin?cos???， 25253所以，cos(2???)?cos2?cos??sin2?sin??.
5
（II）解：因为β为第三象限的角，tan??'10、【解答】解: ⑴函数f(x)的定义域为(－∞,2)∪(4,＋∞),由f(x)?x(x?6)?04(x?2)(x?4)(6,＋∞)
+ ↗
得:x?0或x?6,所以
x (－∞,0)
0 0 极大值
(0,2) - ↘
(4,6) - ↘
6 0 极小值
f'(x)
f(x) ln2?+ ↗
33f(x)极大值?f(0)??ln2,f(x)极小值?f(6)?ln2? 42822⑵由⑴知a?5a?8?3a?0或6?a?5a?8?3a所以?a?4或?2?a??1
33⑶由⑴知函数f(x)的图象若是中心对称图形,则中心一定在两极值点的中心(3, ),
433下面证明:设(x,y)是函数f(x)的图象上的任意一点,则(6?x,?y)是它关于(3, )的对
246?x?26?x3x?2x33???(ln?)??y,即(6?x,?y)也在函称点,而f(6?x)?ln6?x?442x?44223数f(x)的图象上.所以函数f(x)的图象是中心对称图形,其中心是(3, )
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