东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准 （文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）D （3）A （4）C （5）A （6）D （7）B （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-2i （10）y=?2x （11）-1 （12）6，66 （13）[?4,??)，(??,?1)或[0,3) （14）(12,72) （点M的坐标只需满足x2?y2?2，x?(?1,0)?(0,1) 或y??x，x?(??,?1)?(1,??)） 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q． 因为a3?a5?2a4?22，所以a4?11?2?3d．
解得d?3． 又因为b2b4?bb15?b6?qb5，所以q?b1?2．
所以an*n?3n?1，bn?2，n?N． ?????6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，an?3n?1，bn?2n．
因此cn?an?bn?3n?1?2n
数列{an(2?3n?1)3n2n}前n项和为2??n2．
数列{b2(1?2n)n}的前n项和为
1?2=2n?1?2． 所以，数列?c3n2?nn?的前n项和为
2?2n?1?2，n?N*． ???13分 1
（16）（共13分） 解：（Ⅰ）当a?1时，
f(x)?23sinx?cosx?2cos2x?1
?3sin2x?cos2x
??2sin(2x?).
6因为
p＃x12p， 2所以
pp7p￡2x+?． 366所以，当2x+当2x+ppp=，即x=时，f(x)取得最大值2， 626p7pp，即x=时，f(x)取得最小值为-1. ???6分=662（Ⅱ）因为f(x)=23sinax?cosax2cos2ax-1(0
所以f(x)=3sin2ax+cos2ax=2sin(2ax+)． 因为f(x)的图象经过点(,2)， 所以2sin(p6?32a??2a???)?2，即sin(?)?1． 3636所以
2a?????+2k?． 3621(k?Z)． 2所以a?3k?因为0
解：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于7%为事件A，由图可知，这五年中有
2012，2013，2014这三年城镇居民收入实际增速大于7%，所以
P(A)?3. ??5分 5 2
（Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选
两年，有(2012,2013)，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)， (2013,2014)，(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)，
(2015,2016)共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超
过7%的为前9种情况，所以P(B)?9. ???10分 10（Ⅲ）从2014开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. ???13分 （18）（共14分）
解：（Ⅰ） 因为AB?AD，AB?AP，AD?AP?A，
所以AB?平面PAD． 因为AB?平面PAB，
所以平面PAB?平面PAD． ???5分 （Ⅱ）连接PE．
因为△PAD为等边三角形，E为AD中点， 所以PE?AD． 因为AB?平面PAD， 所以AB?PE．
因为AB?AD?A，
所以PE?平面ABCD．
所以VP?ABCD?13?S梯形ABCD?PE．
在等边△PAD中，PE?PA?sin60??3，
S?2)?2梯形ABCD?(12?3，
所以V1P?ABCD?3?S1梯形ABCD?PE?3?3?3?3． ???9分 （Ⅲ）棱PB上存在点M，使得EM∥平面PCD，此时点M为PB中点．
取BC中点F，连接MF,ME,EF．
P因为E为AD中点， 所以EF∥CD． 因为EF?平面PCD， M所以EF∥平面PCD． 因为M为PB中点，
AEDBFC 3
所以MF∥PC． 因为MF?平面PCD， 所以MF∥平面PCD． 因为MF?EF?F， 所以平面MEF∥平面PCD． 因为ME?平面MEF，
所以ME∥平面PCD． ???14分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）因为函数f(x)?xlnx，
所以f'(x)?lnx?x?1x?lnx?1, f'(1)?ln1?1?1.
又因为f(1)?0，
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?x?1. ???4分 （Ⅱ）函数f(x)?xlnx定义域为(0,??)， 由（Ⅰ）可知，f'(x)?lnx?1.
令f'(x)?0解得x?1e. f(x)与f'(x)在区间(0,??)上的情况如下：
x (0,1) 1ee (1e，+?) f'(x) ? 0 ? f(x) ? 极小值 ? 所以，f(x)的单调递增区间是(1e，+?)； f(x)的单调递减区间是(0,1e). ???9分（Ⅲ）当
1e?x?e时，“f(x)?ax?1”等价于“a?lnx?1x”. 令g(x)?lnx?1x，x?[1e,e]， g'(x)?1x?1x?11x2?x2，x?[e,e]. 4
当x?(1,1)时，g'(x)?0，所以g(x)在区间(1ee,1)单调递减. 当x?(1,e)时，g'(x)?0，所以g(x)在区间(1,e)单调递增. 而g(1e)?lne?e?e?1?1.5，
g(e)?lne?1e?1?1e?1.5. 所以g(x)在区间[1,e]上的最大值为g(1ee)?e?1.
所以当a?e?1时，对于任意x?[1e,e]，都有f(x)?ax?1. ???14分（20）（共13分）
?解：（Ⅰ）由题意，得?b?1,?c?1, ??a2?b2?c2, 解得a?2．
x2 所以椭圆C的方程为2+y2=1． ???4分
（Ⅱ）设Q(x,yx200)，P(m,2)，则022+y0=1．
① 当m=0时，点P(0,2)，Q点坐标为(?2,0)或(2,0)，
S?12?2?2?2．
② 当m10时，直线OP的方程为y=2mx．即2x-my=0， 直线QF的方程为y=-m2(x-1)． 点Q(x0,y0)到直线OP的距离为
d=|2x0-my0|222+(-m)2，|OP|=2+(-m)2．
所以，S?12?|OP|?d?12?|2x?mym00|?|x0?2y0|． 又ym0=-2(x0-1)，
5
x02(1?)2y02x?2x0?2 1所以02|??|S?|x0?|?|x0?|x0?1x0?12x0?1 ?1111?|x0?1?|?(|x0?1|?) 2x0?12|x0?1| ?1(2?x0?且x0?1)， 2当且仅当|x0-1|=1，即x0=0时等号成立，
|x0-1|综上，当x0=0时，S取得最小值1. ???13分
6