大题规范练(三) “17题～19题＋二选
一”46分练
(时间：45分钟 分值：46分)
解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足a＝3bcos C.
tan C
(1)求tan B的值；
(2)若a＝3，tan A＝3，求△ABC的面积．
abc
[解] (1)由正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝2R及a＝3bcos C可得2Rsin A＝3×2Rsin Bcos C， 即sin A＝3sin Bcos C.
∵A＋B＋C＝π，∴sin A＝sin(B＋C)＝3sin Bcos C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝3sin Bcos C，
cos Bsin Ctan C
∴cos Bsin C＝2sin Bcos C，∴sin Bcos C＝2，故tan B＝2.
(2)法一：(直接法)由A＋B＋C＝π，得tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－3， 即
tan B＋tan C
＝－3，将tan C＝2tan B代入得
1－tan B·tan C
3tan B1
2＝－3，解得tan B＝1或tan B＝－. 21－2tanB
根据tan C＝2tan B，得tan C，tan B同号， 又tan C，tan B同时为负数不合题意， ∴tan B＝1，tan C＝2，
225310
∴sin B＝2，sin C＝5，sin A＝10， 3b
由正弦定理可得＝，∴b＝5，
3102102
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1125
∴S△ABC＝2absin C＝2×3×5×5＝3.
法二：(整体代入法)由A＋B＋C＝π，得tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－3， tan B＋tan C即＝－3，将tan C＝2tan B代入得 1－tan B·tan C3tan B
＝－3，
1－2tan2B
1
解得tan B＝1或tan B＝－2.根据tan C＝2tan B得tan C，tan B同号，又tan C，tan B同时为负数不合题意， ∴tan B＝1，tan C＝2.
又∵a＝3bcos C＝3，∴bcos C＝1，∴abcos C＝3， ∴abcos Ctan C＝6， 11
∴S△ABC＝2absin C＝2×6＝3.
18．如图6，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角
形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.
图6
(1)证明：SD⊥平面SAB；
(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值.
[解] (1)证明：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)．
设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0，
→＝(x－2，y－2，z)，BS→＝(x，y－2，z)，DS→＝(x－1，y，z)． 且AS
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→→
由|AS|＝|BS|，得?x－2?2＋?y－2?2＋z2＝x2＋?y－2?2＋z2，解得x＝1. →|＝1，得y2＋z2＝1. 由|DS
→|＝2，得y2＋z2－4y＋1＝0. 由|BS
13
由①②，解得y＝2，z＝2.
?13?33?33?→＝?→＝?→＝?－1，－，?，BS?1，－，?，DS∴S?1，，?，AS
22?22?22?????13?
?0，，?，
22??
→·→＝0，DS→·→＝0， ∴DSASBS∴DS⊥AS，DS⊥BS， ∴SD⊥平面SAB.
(2)设平面SBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)， →，n⊥CB→，∴n·→＝0，n·→＝0. 则n⊥BSBSCB33?→→?
又BS＝?1，－，?，CB＝(0,2,0)，
22??3?x1－3y1＋22z1＝0∴?
?2y1＝0
① ②
，取z1＝2，
得n＝(－3，0,2)． →＝(－2,0,0)， ∵AB
→·ABn－2×?－3?21→
∴cos〈AB，n〉＝＝＝.
7→7×2|AB||n|21
故AB与平面SBC所成角的正弦值为7.
19．春节期间，甲、乙等六人在微信群中玩抢红包游戏，六人轮流发红包，每次
10元，分4个红包，每个红包分别为1元、2元、3元、4元，每人每次最多抢一个红包，且每次红包全被抢完．统计五轮(30次)的结果，甲、乙所抢红包的情况如下：
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甲抢的次数 乙抢的次数 1元 6 9 2元 3 6 3元 4 6 4元 7 4 (1)求甲、乙所抢红包金额的平均数，并说明谁的手气更好；
(2)将频率视为概率，甲在接下来的一轮抢红包游戏中，没有抢到红包的次数为X，求X的分布列和数学期望． [解] (1)甲所抢红包金额的平均数为x甲＝
6＋2×3＋3×4＋4×726
＝15，
30
9＋2×6＋3×6＋4×411
乙所抢红包金额的平均数为x乙＝＝6，
301126
由于6＞15，所以乙的手气更好．
(2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 从30次统计结果看，甲抢到红包的频率为
6＋3＋4＋72
＝3，甲没有抢到红包30
1?21?
的频率为1－3＝3，且每次抢红包相互独立，故X～B?6，3?.
??64?2?
??P(X＝0)＝3＝729， ??641?2??1??3??3?＝P(X＝1)＝C6，
????243
2?2??3?P(X＝2)＝C63?2?P(X＝3)＝C6?3???4?2??3?P(X＝4)＝C6??
56
80?1??3?＝， ????243
3
42
?1?160?3?＝， ??72920?1??3?＝， ??243
54
3
2
45?2??1?????P(X＝5)＝C633＝243，
????16?1??3?＝P(X＝6)＝C6.
??729所以X的分布列为
X
6
0 1 2 3 4 5 6 第 4 页 共 4 页
P 64729 64243 80243 160729 20243 4243 1729 1E(X)＝6×3＝2.
(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分) 22．选修4-4：坐标系与参数方程
?x＝2cos φ
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(其中φ为参数)．以
?y＝sin φ原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是πρ(tan α·cos θ－sin θ)＝1(α是常数，0＜α＜π，且α≠2)，点A，B(A在x轴的下方)是曲线C1与C2的两个不同交点． (1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程； (2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标．
?x＝2cos φx22[解] (1)∵?(其中φ为参数)，∴曲线C1的普通方程为4＋y＝1.
?y＝sin φ?x＝ρcos θ由?，得曲线C2的直角坐标方程为y＝tan α·x－1. y＝ρsin θ??x＝tcos α(2)由(1)得曲线C2的参数方程为?(t为参数)．
?y＝－1＋tsin α设A(t1cos α，－1＋t1sin α)，B(t2cos α，－1＋t2sin α)，
?x＝tcos αx22将?，代入4＋y＝1，整理得t2(1＋3sin2α)－8tsin α＝0， ?y＝－1＋tsin α8sin α
∴t1＝0，t2＝，
1＋3sin2α∴|AB|＝|t1－t2|＝
8|sin α|88433
＝≤＝(当且仅当sin α＝
1331＋3sin2α23
3|sin α|＋|sin α|
时取等号)，
3π6
当sin α＝3时，∵0＜α＜π，且α≠2，∴cos α＝±3，
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