一 数学归纳法
对应学生用书P39 数学归纳法
(1)数学归纳法的概念：
先证明当n取第一值n0(例如可取n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
(2)数学归纳法适用范围：
数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明． (3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤： ①证明当n取第一个值n0(如取n0＝1或2等)时命题正确；
②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时命题也正确． 由此可以断定，对于任意不小于n0的正整数n，命题都正确．
对应学生用书P39
利用数学归纳法证明恒等式
[例1] 证明：当n≥2，n∈N＋时，
???1－1????1－1??????1－116???…???1－1n＋14??9n2???
＝2n. [思路点拨] 注意到这是与正整数n有关的命题，可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n＝2时，左边＝1－132＋134＝4，右边＝2×2＝4.
∴当n＝2时，等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即：
???1－14??????1－19??????1－116???…(1－1k2)＝k＋12k 当n＝k＋1时，??1?1－4?????1?1－9???…??1?1－k2???
???
1－1k＋2
???
1
＝＝
1k＋1?1－?k＋2k?
2
?
??
k＋2k＋
＝k＋1kk＋
·2kk＋
2
＝
k＋＋1
.
k＋
∴当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式成立．
利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．
1．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n，均有 111111?1＋＋…＋1－＋－＋…＋－＝2?
234n－1n?n＋2n＋4
1?
?成立时， 2n?
(1)第一步检验的初始值n0是什么？
(2)第二步归纳假设n＝2k时(k∈N＋)等式成立，需证明n为何值时，方具有递推性； (3)若第二步归纳假设n＝k(k为正偶数)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立． 111
解：(1)n0为2.此时左边为1－，右边为2×＝.
242
(2)假设n＝2k(k∈N＋)时，等式成立，就需证明n＝2k＋2(即下一个偶数)时，命题也成立． (3)若假设n＝k(k为正偶数)时，等式成立，就需证明n＝k＋2(即k的下一个正偶数)时，命题也成立．
1112n2．求证：1＋＋＋…＋＝(n∈N＋)．
1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋nn＋12×1
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，
1＋1所以左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 即1＋
1112k＋＋…＋＝. 1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋kk＋1
1111则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋1＋21＋2＋31＋2＋3＋…＋k1＋2＋3＋…＋k＋k＋
2
2k1＝＋
k＋11＋2＋3＋…＋k＋k＋2k＝＋k＋1
2
k＋k＋
＝
k＋k＋
2
k＋
＝
k＋k＋
. ＋1
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对任何x∈N＋等式都成立．
用数学归纳法证明整除问题
[例2] 求证：x－y(n∈N＋)能被x＋y整除．
[思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明．
[证明] (1)当n＝1时，x－y＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x－y能被x＋y整除， 那么当n＝k＋1时，x2
2k2
2k2k＋2
2k2k2
2
2n2n－y2k＋2
＝x·x－y·y－xy＋xy ＝x(x－y)＋y(x－y)
∵x－y与x－y都能被x＋y整除， ∴x(x－y)＋y(x－y)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2
2
2k2k2k2
2
2k2k2
2
2
2k2k2k2
2
22k22k－y2k＋2
能被x＋y整除．
由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．
利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．
3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7－1(n∈N＋)能被9整除． 证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立．
②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7－1能被9整除，当n＝k＋1时， [(3k＋3)＋1]·7
kk＋1
kn－1＝[3k＋1＋3]·7·7－1＝
kk7·(3k＋1)·7－1＋21·7
＝[(3k＋1)·7－1]＋18k·7＋6·7＋21·7 ＝[(3k＋1)·7－1]＋18k·7＋27·7，
kkkkkkk 3