幂函数、函数与方程
一、要点回顾： 1.幂函数的定义：
要求掌握y?x，y?x2，y?x3，y?x1/2，y?x?1这五 个常用幂函数的图象.并画出图象。 2.观察出幂函数的共性，总结如下：
（1）当??0时，图象过定点 ；在(0,??)上是 函数. （2）当??0时，图象过定点 ；在(0,??)上是 函数；
在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近. （3）幂函数y?x的图象，在第一象限内，直线x?1的右侧，图
象由下至上，指数? . y轴和直线x?1之间，图象由上至下，指数? .
3.方程f(x)?0有实根?函数y?f(x)的图像与x轴有交点?函数y?f(x)有零点。
4.零点定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)?0，
那么，函数y?f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a,b）,使得f(c)?0，这个c也就是 方程f(x)?0的根 。
函数模型：几类函数模型及其增长差异
（1）几类函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 函数解析式 ?
f(x)?ax?b(a,b为常数,a?0) f(x)?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0) f(x)?bax?c(a,b,c为常数，a?0且a?1) f(x)?blogax?c(a,b,c,为常数a?0且a?1) f(x)?axn?b(a,b为常数，a?0) 2、解函数应用问题的步骤（四步八字）
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义.。 二、例题分析：
例1、已知函数y?(m2?m?1)xm22?2m?1是幂函数，求此函数的解析式．
练习：若函数f(x)?(a?9a?19)x
a?9是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．
例2、（1）方程lgx?x?3的解所在区间为（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,??)
??x?x?4?，x?0,f?x?????x?x?4?，x?0. 则函数f?x?的零点是 （2）、已知函数
例3、若函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若f(a)f(b)?0，不存在实数c?(a,b)使得f(c)?0；
B．若f(a)f(b)?0，存在且只存在一个实数c?(a,b)使得f(c)?0；C．若f(a)f(b)?0，有可能存在实数c?(a,b)使得f(c)?0；
D．若f(a)f(b)?0，有可能不存在实数c?(a,b)使得f(c)?0；
?1?练习：设函数y?x与y????2?3x?2的图像交点为?x0,y0?，则x0所在的区间是（ ）
A．?0,1? B. ?1,2? C．?2,3? D. ?3,4?
例3、某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如右表：
（1）根椐上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关：
t2①Q?at?b；②Q?at?bt?c；③Q?a?b；④Q?a?logbt。
y??C?（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。 练习：在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况 由微机记录后显示出的图象如右图所示，现给出下面说法：
① 前5分钟温度增加的速度越来越快；② 前5分钟温度增加的速度越来越慢；O 5t?分?③ 5分钟以后温度保持匀速增加；④ 5分钟以后温度保持不变。其中正确的说法是_________。 作业：
1．下列函数中既是偶函数又是(??,0)上是增函数的是（ ） A．y?x
4332?14B．y?x
?C．y?x
?2D．y?x
2．如果幂函数f(x)?x的图象经过点(2,2)，则f(4)的值等于（ ）. 2 A. 16 B. 2 C.
11 D. 1623．函数f(x)?1?2x?6的零点一定位于区间（ ） x A、（3,4） B、（2,3） C、（1,2） D、（5,6） 4．函数f(x)?x2?2x的零点个数是（ ）
Ａ、3个 Ｂ、2个 Ｃ、1个 Ｄ、0个
5．某学生离开家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下列图中，y表示离校的距离，x表示出发后的时间，则较符合学生走法的是（ ）
yyyyA 6．今有一组实验数据如下：
OxOxBOx 4.0 7.5 COx 5.1 12 D
t v 1.99 1.5 3.0 4.04 6.12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最好的一个是（ ）
2A．v?log2t B．v?log1t C．v?t?1 D．v?2t?2
227题
7．若幂函数y?x?在第一象限内的图象如图所示，则?的取值可能为 ( )
1
A．－1 B．2 C．3 D.
28．设T1＝1，T＝?1?，则下列关系式正确的是 ( ) ??2?，T＝?1522
3
232313A．T1 9．幂函数 y?x，y?x，y?x，y?x 在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ( ) A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a D．b>c>d>a 10．设函数f(x)?x?()?2零点为x0,则x0所在的区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 11．函数f(x)?log2x?2x?1的零点必落在区间（ ） ?A.??,? 11?84?3abcd12x x ?B.??,? 11?42? ?C.??,1? 1?2? D.(1,2) 12．函数f?x??e?x?2的零点所在的一个区间是（ ） A．??2,?1? B．??1,0? C．?0,1? D．?1,2? 13．函数f(x)???4x?4， x≤1，?x?4x?3，x?12的图象和函数g(x)?log2x的图象的交点个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．设m，k为整数，方程mx?kx?2?0在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 （A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13 215．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2 009个零点，则这2 009个零点之和为___． 16．已知函数y?f(x)和y?g(x)在[?2,2]的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程f[g(x)]?0有且仅有6个根 ②方程g[f(x)]?0有且仅有3个根 ③方程 f[f(x)]?0有且仅有5个根 ④方程g[g(x)]?0有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）. ①③④ 17．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)?m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1?x2?x3?x4?_________. -8 ?2x?2?,18．已知函数f(x)??x若关于x 的方程f(x)?k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_____ ?(x?1)3,x?2?219．直线y＝1与曲线y?x?x?a有四个交点，则a的取值范围是 。 |x2?1|20．(2012·天津)已知函数y?的图象与函数y?kx?2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是____． x?121．已知函数f??log2?x＋1?，x＞0，(x)＝?2若函数g(x)??－x－2x，x≤0，? f(x)?m有3个零点,则实数m的取值范围是___． 1,求满足f(log1x))≥0的x2922．定义在R上的偶函数y?f(x)在???,0?上递增，函数f(x)的一个零点为?的取值集合． 23．已知函数f(x)?27?xm且f(4)??．(1)求m的值；(2)求f(x)的单调区间． x2224．已知二次函数f(x)?x?(2t?1)x?1?2t，（1）求证：对任意t?R，方程f(x)?1必有实数根；（2） 若 113?t?，求证：方程f(x)?0在区间（-1,0）及（0，）上各有一个实根； 22425．某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50 元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？