章 节 题 目 第七节 极限存在准则 两个重要极限 两个准则：夹逼准则; 单调有界准则 . 内 容 提 要 两个重要极限：1 0limsin?1??1 、 20lim(1??)??e 两个准则：夹逼准则、 单调有界准则 重 点 分 析 两个重要极限：1 0limsin?1??1 20lim(1??)??e 难 点 分 析 习 题 布 置 两个准则的使用方法 利用两个重要极限求极限 P71：1（单）、2（单）、4 备 注 1
教 学 内 容 一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列xn,yn及zn满足下列条件: (1)yn?xn?zn(2)limyn?a,n?? (n?1,2,3?)limzn?a,n?? 那末数列xn的极限存在, 且limxn?a. n??证：?yn?a,zn?a, ???0,?N1?0,N2?0,使得 当n?N1时恒有yn?a??, 当n?N2时恒有zn?a??, 取N?max{N1,N2},上两式同时成立, 即a???yn?a??, a???zn?a??, 当n?N时,恒有 a???yn?xn?zn?a??, 即xn?a??成立, ?limxn?a. n??上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则Ⅰ′ 如果当x?U?(x0)(或x?M)时,有 (1)g(x)?f(x)?h(x),(2)limg(x)?A,x?x0(x??)x?x0(x??)0limh(x)?A, 那末limx?x0(x??)f(x)存在, 且等于A. 准则 ?和准则 ?'称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出yn与zn,并且yn与zn的极限是容易求的. 例1：求lim(n??1n?1?12?1n?2???2???1n?n2). 解：?nn?n21n?n2n?12?nn?12, 2
又limnn?n2n???lim11?1n ?1, n??limnn?12n???lim11?1n2n???1, 由夹逼定理得 lim(n??1n?12?1n?22???1n?n2)?1. 2.单调有界准则 如果数列xn满足条件 x1?x2??xn?xn?1??,单调增加或者 x1?x2??xn?xn?1??,单调减少 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: x1x2x3xnxn?1xn?3?AMx (n重根式)的极限存在. ; 例2：证明数列3???3证：显然xn?1?xn, ??xn?是单调递增的又?x1?3?3, 假定xk?3, xk?1?3?xk ?3?3 ?3, ??xn?是有界的; ?limxn存在. n???xn?1?23?xn, xn?1?3?xn, limxn?1?lim(3?xn), 2n??n??A?3?A, 解得A?21?213,A?1?132 (舍去) ?limxn?n??1?213. 二、两个重要极限 (1) limsinxxx?0?1 3
CBxoDA 设单位圆O,圆心角?AOB?x,(0?x??2)， 作单位圆的切线，得?ACO.扇形OAB的圆心角为x?弧AB,sinxxx, ?OAB的高为BD, 于是有sinx?BD,tanx?AC, ?1, ?sinx?x?tanx, 即cosx?上式对于??2?x?0也成立. 当0?x?x2x?22时, 0?cosx?1?1?cosx ?2sin2 ?2() ?2x22, ?limx2x?02?0, ?lim(1?cosx)?0, x?0?limcosx?1, 又?lim1?1, ?limx?0sinxxx?0x?0?1. 例3 求lim1?cosxx2. 2x?02sinx2 ?1lim2x?0sin2x解：原式?limx?0x22 ?1lim(x22x?0()2sinx2)2 ?1?12 ?1. x222(2) lim(1?x??1xn)?ex 定义lim(1?n??1n1)?e ) ?1?n设xn?(1?n1n(n?1)1n(n?1)?(n?n?1)1???2?? ??n n1!n2!nn!n11112n?1?1?1?(1?)???(1?)(1?)?(1?). 2!nn!nnn类似地,
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xn?1?1?1???1n!(1?1(n?1)!12!1(1?1n?12)??)?(1?2n?2n?1n?1)nn?1;n?1(1?)(1?1n?1n?2)(1? ).)?(1?显然xn?1?xn, ??xn?是单调递增的xn?1?1?12!???1n! 12n?1 ?1?1?12??? ?3?12n?1 ?3, ??xn?是有界的; ?limxn存在. n??记为lim(1?n??1n)?e (e?2.71828?) n当x?1时, 有[x]?x?[x]?1, 1[x]?1[x](1?)?(1?1x)?(1?x1[x]1[x])[x]?1, 而lim(1?x???1[x]1)[x]?1?lim(1?x???)[x]?lim(1?x???1[x]) ?e, x???lim(1?[x]?11)[x]?lim(1?x???[x]?11xx)[x]?1?lim(1?x???1[x]?1 )?1?e?lim(1?x???)?e. 1令t??x, ?lim(1?1?t1tx)?lim(1?) ?lim(1?) x???t???t???xtt?11t?11?lim(1?)(1?) ?e. t???t?1t?1lim(1?x???1x)?e1x 令t?11t, lim(1?x)x?lim(1?) ?e. x?0t??xt1lim(1?x)x?e x?0例4 求lim(1?x??1x). x 5
解：原式?lim[(1?x??1?x)?x] ?lim?11(1?1?x)?x ?1e. x??例5 求lim(x??3?x2?x). 1x?2)x?22x解原式?lim[(1?x??](1?21x?2)?4 ?e2. 三、小结 1.两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 . 2.两个重要极限 设?为某过程中的无穷小sin?, 110某过程lim??1; 20某过程lim(1??)??e. 思考题 求极限lim?3?9xx???x?1x 思考题解答 1xx???lim3?9?xx? ?lim?9x???x?13??x1??1??x?x?1? ?9?lim??1?x??x???3???3?????311xx?x ?9?e?9 0
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