2018-2019学年数学三模答案（理）
一、选择题 题号 1 2愿天下高考生忧愁是可微的快乐是可最新试积的在未：来趋于正无穷的日子，里幸福是连4 5 6 7 8 9 10 11 12 续，3 的对你的祝福是可导的且，大于零，祝你每天快乐，的复合函数总是最大值。 卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。 答案 D B D A B A B A B B C A
二、填空题
13. 12 ; 14. -2 ;
15. n2n ; 16. ?0,2? .
三、解答题
17.解：（1）f?x???a?b??sin2?x?3cos2?x?2sin?????2?x?3??……………….1分
?x=5?6是函数f?x?图像的一条对称轴 ?f??5???6????2?2?5?6???3?k???2,k?Z
???3k5?12,k?Z ………………………………….2分
????0,1??k?0,??12 ?f?x??2sin?????x?3?? ………………………………….4分
?2k????2?x?3?2k???2?2k???6?x?2k??5?6,k?Z ?f?x??2sin???x???3??，f?x?的增区间为：???2k???5??6,2k??6??,k?Z……….6分
（2）?f?A??2sin??A????3???0?A??3?k??A?k???3,k?Z
?A??0，???A=?3 …………….……….8分
（方法一）
b2在?ABC中，由余弦定理：cosA??c2?a22bc?b2?c2?a2?2bccosA?0
?b2?32?13?2b?3?12?0?b2?3b?4?0
??b?4??b?1??0?b?0?b?4…………….……….12分
（方法二）由（1）知sinA?32,cosA?12
在?ABC中，由正弦定理：
acsinA?sinC ?sinC?c?sinA3a?3926?cosC?55252 …………….……….10分 ?sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC?32?55252?13392392?26?13?b?asinBsinA?23913?133?4?b?4…………….……….12分
218.解（1）甲班数学分数的中位数：
122?1142?118…………….……….1分 乙班数学分数的中位数：
128?1282?128…………….……….2分
频率 组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 100 110 120 130 140 150 乙班同学的数学分数
…………….……….4分
（2）乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；…….6分
甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度. …….8分
（3）有频率分布直方图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，
若从中分层抽样选出12人，则应从甲、乙两班各选出5人、7人，
设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A …….9分
8?7?611?10?P?A??C23349?82?C8C5?C3?C117?3?2?1?4?3?2?110C1410?9?8?7?614?13?12?11?10?9?8则
5?4?3?2?17?6?5?4?3?2?1…….10分
?2559?52?234…….11分
所以选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为5234. …….12分
19解：(1)证明：取SA中点F，连接DF,EF
?SE?EB,SF?FA
?EF//12AB 又?CD//12AB
?CD//EF
?四边形CDFE为平行四边形 ?CE//FD
?CE?面SAD,FD?面SAD
?CE//面SAD……………….……….4分
(2) ?面SCD?面ABCD,面SCD?面ABCD?CD
m?n1?1?11?SD?CD,SD?面SCD
?SD?面ABCD ?AD,CD?面ABCD ?SD?AD,SD?CD
又?AD?DC
?DA,DC,DS两两互相垂直
如图所示,分别以DA,DC,DS为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz……………….……….6分 则A(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,2),B(2,4,0),E(1,2,1)
CE?(1,0,1),CA?(2,?2,0),CB?(2,2,0)
设平面ECA,平面ECB的法向量分别为
m?(x1,y1,z1),n?(x2,y2,z2)
??m?CE?0则?????CA??0?x1?z1?0?m??2x1?2y1?0 取m?(1,1,?1)……………….……….8分
???n?CE?0????CB??x2?z2?0 ?n??0?2x2?2y2?0取n?(1,?1,?1)……………….……….9分
?cos?m,n??mn?3?3?3……………….……….11分 ?二面角A?EC?B的平面角的余弦值为?13. ……………….……….12分
20.解：（I）由已知得：???a?c?2?3???a?2?b2?4?3?1
???a?c?2?3??c?3?椭圆方程为x24?y2?1……………….……….4分 （II）设l:y?kx?b（易知l存在斜率，且b?0），设P?x1,y1?,Q?x2,y2? 由条件知：k2?y1y2?kx1x=?b???kx2?b?1x2x1x2
?k2x1x2?kb?x1?x2??b22kb?x1?x2??b2x?k? 1x2x1x2kb?x1?x2??b2?x?0?xb1?x2??k???(1)……………….……….6分
1x2??y?kx?b?2?4k2?1x2?8kbx2?x2???4b?4?0?4?y?1
????8kb?2?4?4k2?1??4b2?4??0?4k2?1?b2?0
2?x8kb1?x2??1?4k2,??(2)x1?x4?b?1?2?1?4k2
联立(1)(2)得：?b82k=?kb1?4k2?4k?1……………….………8分
PQ?1?k2?x1?x2?222?4xx44k?1?b142?b2212?1?k4k?1?1?42?10?5b22 点O到直线l的距离d?bb1?k2? 1?14?S?OPQ?12PQ?d?12?10?5b2?b5?b2?b2 4??2?b2?b2???b2?1?2?1……………….………10分
?4k2?1且4k2?1?b2?0?0?b2?2……………….………11分
?b??1所以当??b2?1?1?4k2?1???1?直线l为：y???k??22x?1时： ?S?OPQ?max?1. ……………….………12分
21.解：（Ⅰ）f?(x)?(1?a?ax)ex， ……………….………1分
由题意有??f?(1)?e(1?2a)??e，解得??f(1)?(1?a)e?b??1?a?1． ……………….………2分
?b??1故f(x)?(1?x)ex?1，f?(x)??xex，
f?(x)??xex?0?x?0，f?(x)??xex?0?x?0所以f(x)在(-?，0)为增函数，在(0,??)为减函数． ……………….………3分
故有当x=0时，?f(x)?max?f(0)?0． ……………….………4分 （Ⅱ）证明：
yxex?1x（ⅰ）e?e?x?ex?(1?x)e?1x(x?0)，
由（Ⅰ）知(1?x)ex?1?0，所以ey?ex?0，即y?x.……………….………6分
又因为ex?x?1(x?0)，所以eyex?1（过程略）?x?1，故0?y?x.………….………8分 x（ⅱ）法一：?xey?ex?1?x?0??ey?e?1x
ex令：h?x???1x,则h'?x??xex?ex?1x2 由（1）知x?0时-?xex?ex?1??0?x?0时xex?ex?1?0?x?0时h??x??0
?h?x?在?0,???上单调递增?x?2时h?x??h?2??e2?12?h?2??e?e2?1e2?2e?1?e?1?2?2?e?1?2??e?1?2?
2?e?2?2?2?0?h?2??e?x?2时h?x??e即：ey?e
?x?2时y?1……………….………12分
xx法二：ey?e2?ex?1xex?122x?e??xex(x?0)，
xx构造函数h(x)?ex?1?xe2，h?(x)?ex?e?xxxx22x2e?e2(e2?1?2)，
x因为ex?x?1(x?0)，所以e2?1?x2，
即当x?0时，h?(x)?0，所以h(x)在(0,??)为增函数，
x所以h(x)?h(0)?0，即ey?e2，故y?x2?1.……………….………12分 22.（1）???2cos???2?2?cos?
又??2=x2?y2,?cos??x
?曲线C1的直角坐标方程为： x2?y2?2x?0……………….………3分
曲线C2?y?1?2?t22的普通方程为：x?……………….………5分
（2）将Cx?tcos?,2的参数方程：???y?1?tsin??t为参数?代入C1的方程：x2?y2?2x?0得： t2??2sin??2cos??t?1=0
????2sin??2cos??2?4?8sin2???????4???4?0
?sin???????4?????2?,1?
?2???sin???????4??????1,?2????2????2?,1??2? ……………..7分 ?t2sin????1?t2???2sin??2cos????2???4??,t1?t2?1?0
?t1?t2?1?0?t1,t2同号?t1?t2?t1?t2
由t的几何意义可得：
1PA?1PB?1t?1?t1?t2t?t2t?1 1t2t1?2t1?t2?t1?t2?22sin????1???4????2,22?? ?1PA?1PB??2,22?? ……………10分
23.解：（1）b?1时，f?x??2x?1?2x?1?4,
??x?1??1?或???1或??x?? ……………3分 ?2?x?1?x??1?2?x??1?4x?4?2?x?2??4x?4?2?4所以解集为：???,?1???1,???……………5分
(2)f?a??2a?b?2a?b?2a?b?b?2a??2a?b???b?2a??2b
当且仅当?2a?b???b?2a??0时?f?a??min?2b……………7分
?2b?b?1??2b?2??b?1?2??3b?1??b?1??0
所以b的取值范围为：????,?1???3???1,???……………10分